116 



kakve vrijednosti od x, onda točke x, u kojima taj red kon- 

 vergira, čine u ravnini kompleksne varijable baš jedan krug, 

 kojemu je središte u točki a. Drugim riječima: svakom takovom 

 konvergentnom redu (1) pripada neki „kmg konvergencije'' C. 

 (Radij mu u specijalnim slučajevima može biti neizmjerno ve- 

 lik.) Za sve točke x unutar toga kruga C sa središtem u a i 

 radijem r izraz (1) uniformno i apsolutno konvergira, a za sve 

 točke izvan kruga taj izraz divergira. U točkama na obodnici 

 kruga izraz može i konvergirati i divergirati. 



Red (1) predočuje onda holomorfnu*) funkciju f(x) vari- 

 jable X unutar kruga C, a vrijednost je njezina, resp. njezinih 

 sukcesivnih derivacija u točki a dana baš onim konstantama: 

 f(a), resp. f(a), f"(a), . . . , f("'(a), ... 



Ako je b točka unutar C, onda iz (1) možemo izračunati 

 f(b), a derivujući (1) dobiti derivacije 



f'(bj, r{b), p'Xb), . . . 



prema dobro poznatim poučcima o derivovanju redova poten- 

 cija. Tim načinom dobivamo „element funkcije" za točku b, 

 pa možemo načiniti red 



f(xj = f(b) + "^r f'(^) + ^^^ / To; + (2) 



Kako nas i opet elementarna svojstva redova potencija 

 uče, red je (2) sigurno konvergentan unutar kruga Cj s polu- 

 mjerom ri, što tangira C iznutra, a središte mu je u b, ali ništa 

 ne kaže, da je to njegov krug konvergencije. Ovaj će naime 

 općenito imati veći radij; to će biti na pr. krug Cg s polu- 

 mjerom r-y (r-j > /"/ ^ (i središtem u b), koji će jednim svojim di- 

 jelom sezati i preko područja onoga prvobitnoga kruga C. U 

 tomu dakle slučaju dolazimo do jednoga područja izvan kruga 

 C, u kojemu nam konvergentni red (2) daje vrijednosti funk- 

 cije f(xj. U teoriji je sada lako zamisliti, da mi iz ovoga kruga 

 Co slično izađemo u daljnja područja izračunavši element funk- 

 cije, koji odgovara nekoj točki c unutar C., itd. Tako izraču- 

 navamo vrijednosti f(xj u točkama, u kojima ih nismo mogli 

 izračunati prvobitnim redom (1), jer je on bio u tim točkama 

 divergentan. Mi funkciju „produžujemo" u nova područja 



* Funkcija je holomorfna u području C, ako svakoj točki .v u C 

 odgovara satno jedna određena vrijednost funkcije f(xj, ako je funkcija 

 neprekidna i ima određenu derivaciju. 



