117 



varijable. Pomislimo, da tako pokušamo produžiti funkciju, 

 gdjegod to ide. Onda će funkcija biti određena u cijelom je- 

 dnom području A, a sve to pomoću slijeda vrijednosti 

 ffa), f(a), . . , f")(a), . . . 



Drugim riječima: funkcija je određena jednim svojim ele- 

 mentom. 



U ovomu, što slijedi, mi ćemo se ograničiti na uniformne 

 (jednoznačne) funkcije. Ovakove funkcije imaju to svojstvo, da 

 je elemenat funkcije, koji odgovara nekoj točki /, posve odre- 

 đen i neovisan o načinu, kako mi dolazimo produživanjem iz 

 točke a u točku /. Očito je, da je to — doći iz a u / produ- 

 živanjem — moguće na neograničeno mnogo načina. (Kad funk- 

 cija nije uniformna, stvar se komplicira. Pitanje je ovisno o po- 

 ložaju singularnih točaka.) 



Weierstrass zove sad „analitičkom funkcijom" skup 

 ovakovih elemenata, koji nam daju vrijednost funkcije u razli- 

 čitim točkama njenoga „područja eksistencije", t. j. područja, 

 koje možemo dosegnuti gore opisanim produživanjem pomoću 

 reda potencija („analitičkim produživanjem"). Dosta 

 je znati jedan elemenat, da možemo odrediti sve ostale. 



Vratimo se sada na monogene funkcije. Ako funkciju va- 

 rijable x = ^-{-/rj rastavimo na realni i imaginarni dio 

 f(x) = Pä,-f^)^iQa,r^), 



onda se, kako je poznato, uvjet, da funkcija bude monogena, 

 dade napisati s dvije jednadžbe: 



ćP <)Q 



df ~ dr^ ' 



dP _ _ 0Q, 



"-(\ '~ ()i 

 Ako je ovaj uvjet monogenosti ispunjen za sve točke ne- 

 koga područja, onda se, kako je Cauchy dokazao, funkcija dade 

 u tomu području razviti u Taylorov red, ako je derivacija 



,> . , r)P , . dQ dQ .dP dP . dP dQ , . dQ 

 Oi ' ()c, 6)7] d-q (,i d-q d-q ^ di 



neprekidna. Sto Cauchy zahtijeva, to je dovoljan uvjet, da se 

 funkcija dade razviti u red. Goursatu je uspjelo dokazati, da je 

 zahtjev neprekidnosti od f'(x) nepotreban; dosta je zahtijevati 

 ćaf'(x) postoji. [Neprekidnost njezina slijedi onda sama po sebi.) 



