118 



U ovomu Cauchyjevom teoremu leži važnost pojma mo- 

 nogenosti. Po tomu se naime teoremu svaka funkcija, koja je 

 monogena unutar nekoga kruga, dade razviti u Taylorov red, 

 a to nas vodi na Weierstrassovu definiciju analitičke funkcije 

 pomoću reda potencija. 



Obrnuto: iz svojstava reda potencija, pomoću kojega 

 Weierstrass malo po malo definira analitičku funkciju, slijedi, 

 da svaki takav konvergentni red prikazuje funkciju, koja je mo- 

 nogena unutar kruga konvergencije. 



Mi smo ovdje samo podsjetili na neke glavne teoreme da- 

 našnje teorije funkcija i ne ćemo se upuštati u mnoga delikatna pi- 

 tanja, koja se ovdje nadaju. Jedno se iz svega ovoga razabire: 

 Ako analitičko produživanje zamišljamo samo pomoću konver- 

 gentnih redova potencija, onda se pojam uniformne analitičke 

 funkcije podudara s pojmom monogene funkcije, ako pod ana- 

 litičkom funkcijom razumijevamo onu, koja se dade razviti u 

 red potencija (Taylorov red.) Zato se u mnogim djelima ova 

 dva pojma više ni ne razlikuju.*) 



Predmet je ovoga članka ukratko upozoriti na neka novija 

 istraživanja različitih matematika, naročito E. Borela, koja su 

 konačno Borela dovela do monogenih funkcija, koje nijesu ana- 

 litičke. Moglo bi se činiti, da je ovo u protivurječju sonim, što 

 smo malo prije spomenuli, no treba odmah reći, da se tu radi 

 funkcijama, koje su definirane u područjima, kakva dosad 

 nije bio običaj promatrati u matematici, a i pojam se monoge- 

 nosti u neku ruku ovdje proširuje, kako ćemo kasnije vidjeti. 



Nazvali smo područjem eksistencije analitičke funkcije skup 

 svih točaka, koje možemo dosegnuti metodom analitičkoga pro- 

 duživanja. Budući da se produživanje izvodi krugovima kon- 

 vergencije, koji se djelomično prekrivaju, a polumjeri im imaju 

 biti različiti od nule, i budući da svaku točku područja funk- 

 cije moramo nakon izvjesnoga broja operacija dosegnuti, to sva 

 područja, u kojima po Weierstrassovoj teoriji možemo defini- 

 rati funkciju, imaju ova svojstva: Svaka točka a područja na- 



*) Na pr. Goursat u svome „Cours d' Analyse", sv. II. str. 8., dajući 

 definiciju monogene funkcije dodaje u bilješci: Le mot monogene a 

 ete souvent employe par Cauchy .... Nous emploierons plutot le mot 

 analytique; on montrera plus loin que cette definition est bien d'ac- 

 cord avec celie qui a ete donnee anterieurement (naime gdje se anali- 

 tičkom definira funkcija, koja se dade razviti u Taylorov red). 



