119 



laži se unutar jednoga kruga C„ , kojega sve točke pripa- 

 daju području. Neka točkama a i b područja odgovaraju u 

 gore spomenutom smislu dva kruga C i Ci, . Onda se C i G 

 mogu spojiti konačnim brojem krugova, koji svi pripadaju po- 

 dručju i od kojih se dva po dva, što slijede jedan za drugim, 

 uvijek djelomično prekrivaju. 



Mi ćemo s Borelom ovakova područja nazvati područjima 

 W u slavu Weierstrassovu. Ako je funkcija poznata samo u 

 jednom dijelu ovakovoga područja, analitičkim je produživanjem 

 možemo izračunati u svim točkama. 



Funkcije, koje ćemo mi promatrati, bit će definirane u op- 

 ćenitijim područjima nego li W, i to takvima, koja zadovolja- 

 vaju samo uvjetu: ako je funkcija poznata u jednomu dijelu 

 područja, ona je određena u cijelomu području. Ovakova po- 

 dručja, kojih su specijalni slučaj očito područja W, nazovimo 

 područjima C u slavu Cauchya. Ne želimo li, da nam područja 

 C u praksi ostanu identična s područjima W, treba se odlu- 

 čiti na drugi način produživanja, nego li je „analitičko produ- 

 živanje", t. j. produživanje pomoću Taylorova reda, jer se ovdje 

 radi s krugovima konvergencije, a to vodi do područja W. 



Naša će područja biti na pr. mjestimice prekrivena skupom 

 singularnih točaka, koji će biti „gust""'0 u cijelom jednom di- 

 jelu ravnine. Jasno je, da se u takvomu području ne može ni 

 misliti na produživanje pomoću Taylorova reda. U klasičnoj 

 teoriji funkcija, ako sve singularne točke leže na pr. na obo- 

 dnici kruga i ako je skup tih točaka svagdje na obodnici gust, 

 ali takov, da te točke ipak ne čine kontinuum, mi ne možemo 

 ni na koji način izići analitičkim produživanjem iz ovoga kruga. 

 Sav je prostor izvan ovoga kruga za funkciju definiranu jednim 

 elementom unutar kruga lakunarni prostor (espace lacunaire, 

 lakunärer Raum). U Borelovoj teoriji mi ćemo u nekim ana- 

 lognim slučajevima moći produžiti funkciju i izvan ovakovoga 

 kruga. 



Ali već se iz ovoga, što je do sada rečeno, vidi, da studij 

 ovako suptilnih pitanja zahtijeva neku pripravu. Kako su naime 

 područja, u kojima su nove funkcije definirane, različita od po- 

 dručja, u kojima funkcija u Weierstrassovoj teoriji može biti 

 definirana, trebalo je upoznati svojstva tih novih područja, a 

 kako se u drugu ruku i način produživanja novih funkcija 



*) U smislu teorije skupova točaka. 



