121 



rani s 2 racionalna broja jc= '' , y= y, dakle ovisni o 4 in- 

 deksa. Lako je vidjeti, da je i skup dobiven uzevši ma na koji 

 način neizmjerno mnogo elemenata odbrojivoga skupa također 

 odbrojiv. Tako je odbrojiv n. pr. skup svih točaka, koje se nalaze 

 na pr. unutar nekoga izvjesnoga kruga koordinatne ravnine, a 

 imaju racijonalne koordinate. Potenciju kontinuuma ima opet, 

 kako je G. Ca n tor dokazao, na pr. skup svih točaka unutar 

 jednoga kvadrata, jednoga kruga itd. 



Za teoriju su funkcija važni skupovi točaka. Ove ćemo 

 sada promatrati. Poznato je, što se razumijeva pod graničnom 

 točkom nekoga skupa točaka. Skup graničnih točaka nekoga 

 skupa A čini derivaciju A' toga skupa. Ako A sadržaje sve 

 točke od A', skup se zove zatvoren, a ako osim toga ne sadr- 

 žaje više ni jedne točke, onda se zove perfektan (savršen). Ako 

 s A" označimo derivaciju od A', a s A'" derivaciju od A" itd., 

 onda u nizu 



A, A', A", A", .... 



samo skup A može biti i ne biti zatvoren ; ostali su svi zatvo- 

 reni. Poznat je poučak Cantor-Bendixsonov, da se svaki zatvo- 

 reni skup sastoji od jednoga perfektnoga i jednoga odbrojivoga. 

 (Dokaz je toga fundamentalnoga teorema pojednostavljen po 

 Lindelöfu uvedenim pojmom „točke kondenzacije".) 



Poznato je iz elemenata, što se razumijeva pod „gustim 

 skupom". Dvodimenzijonalni je skup na pr. svagdje gust u ne- 

 komu području, ka:l svaki ma kako maleni dio područja sadr- 

 žaje točaka skupa. Takov je svagdje gusti skup na pr. skup 

 točaka ravnine xy s racijonalnim koordinatama. 



Prije nego li pođemo dalje, bit će dobro pokazati, na kako 

 neobične rezultate dovodi proučavanje skupova s potencijom 

 kontinuuma. Uzmimo algebarsku jednažbu n-togareda f(x)=^0 

 s cijelim koeficijentima. Neka ona ima jedno realno rješenje 

 a, koje nije racijonalan broj. Neka je dan interval (a, ß) takov, 

 da je a v^ a v.^ ß. — Kako je /f^xj polinom, i njegova će deriva- 

 cija biti polinom, pa će njezina apsolutna vrijednost biti ko- 

 načna u (a, ß), t. j. dat će se odredili broj M takav, da bude 



\fYx) \ < M (1) 



Neka je interval (a, ß) odabran tako, da je iracijonalni broj a 



