125 



suma površina manja od svakoga (povoljno malenoga) poziti- 

 vnoga broja s. Dobivamo ih isključujući ovaj puta n. pr. kva- 

 drate mjesto intervala. Naročito je Borel istraživao ove sku- 

 pove. On u tu svrhu uvodi*) pojam regularnoga skupa, te ga 

 definira ovako : 



Neka je dan odbrojiv skup točaka A„ (n ^ 1, 2, 3, . . .), 

 ,koje ćemo zvati fundamentalnim točkama. Svakomu prirodnomu 

 broju h pridijelimo odbrojiv skup kvadrata C^' (n = 1, 2, 3, ...), 

 kojih površine čine konvergentan red, i takovih, da kvadrat 

 C',''' sadržaje u svojoj nutarnjosti kvadrat C|'' "'"'''' ^ te da 

 konvergira svim svojim dimenzijama prema točki A„, kad h 

 beskonačno raste. Neka je E/, skup točaka sadržanih u ma ko- 

 jemu od kvadrata C^''' (/z = 1, 2, 3, . . .). Onda se skup to- 

 čaka, koje su sadržane u svim ovakovim skupovima Ea (ma 

 kakov bio h), zove regularni skup E. Lako se vidi, da je svaki 

 regularni skup, skup sadržaja nula. Označimo naime s [C'^jpo- 



vršinu kvadrata C''\ Pošto je red V [C;/ J konvergentan, 

 možemo naći prirodni broj p takov, da bude 



00 





a to će onda a fortiori vrijediti, ako zamijenimo h s h -\- 1, 

 h -]- 2, . . . . itd. U drugu ruku površine svih ovih kvadrata 

 konvergiraju k nuli, kad h raste u neizmjernost; počevši dakle 

 od izvjesnog jednog h površina svakog od p kvadrata sume 



V [c;;'' ] bit će manja od ~, dakle ^ [C;,'"] < ^ 



" = ^ ^ 71=1 . 



a prema tomu V [qW^ ^ ^ ^ J ^ .^ 



Što je trebalo dokazati. 



Regularni su skupovi zato važni, jer se može pokazati, da 

 je svaki skup sadržaja nula dio nekoga regularnoga skupa E. 

 Borel je u citiranoj već radnji pokazao, da svakomu danomu 

 A možemo uvijek odrediti E gornjih svojstava; drugim riječima: 

 da mi od našega ma kakvoga skupa sadržaja nula možemo kon- 



*) Za ovo i ono dalje o skupovima isj). osobito Buli. de la Societe 

 Mathematique de France, tome XLl., fasc, 1., 1913.: „Les ensembles de me- 

 sare nulle". 



