126 



struirati regularan skup, koji sadržaje u sebi onaj prvi. Ovo je 

 za nas važno, jer mi ćemo se na temelju ovoga poučka moći 

 kod izvjesnih primjena ograničiti na regularne skupove, koji su, 

 kako znamo, definirani pomoću temeljnih (fundamentalnih) to- 

 čaka i kvadrata (ili krugova), što su tim točkama dodijeljeni. 



No može se ići i dalje i ustvrditi, ako su temeljne točke 

 svagdje u skupu guste, da možemo posve povoljno odabrati 

 ma koji skup svagdje gustih točaka unutar istoga područja i 

 njega uzeti za skup temeljnih točaka regularnoga skupa. Ova 

 je tvrdnja važna, jer ako je to dokazano, onda ćemo moći za 

 temeljne točke uzeti specijalno svagdje gusti skup točaka s ra- 

 cijonalnim koordinatama, koji ima tu prednost, da mu je defi- 

 nicija matematički jednostavna, pa nam omogućuje naći svoj- 

 stva regularnih skupova. 



Kod dokaza ovoga poučka zgodno je poslužiti se ovom 

 činjenicom: ako je područje, unutar kojega su temeljne točke 

 našega skupa guste, jednostavno suvislo, možemo ga konfor- 

 mnim preslikavanjem transformirati na jedan krug. 



Radi spomenute mogućnosti konformnoga preslikavanja 

 na krug naš će poučak biti dokazan, ako ga uspije dokazati za 

 regularni skup s temeljnim točkama gustim u nekom krugu. 

 Onda sve izlazi na to, da se dokaže ovaj poučak: 



Zadana su dva odbrojiva skupa točaka A i B, od kojih 

 je prvi gust u krugu i na obodnici kruga Ca, a drugi je gust 

 u krugu i na obodnici kruga Cb, koji je jednako velik kao Ca. 

 Tada je moguće elemente odbrojivih skupova A i B tako nu- 

 merirati, da se omjer udaljenosti ma kojih dvaju elemenata je- 

 dnoga skupa i udaljenosti elemenata s istim indeksom u dru- 

 gom skupu razlikuje od jedinice za manje od po volji malene 

 veličine e. Dakle drugim riječima, moguće je označiti s Aj, A^, 

 A3, ... . elemente prvoga, a s Bj, B.^, By, . . . . elemente dru- 

 goga skupa tako, da bude za svaki p i svaki q 



1 -3 <-|;bI< ^'+'- 



Osim toga će se i kutovi a i ß, što ih čine dužine A/^A^ 

 i BpBq s osi apscisa x, po volji malo razlikovati: ja — ß| < s. 



Ovaj poučak nije teško dokazati, ako dokaz i nije baš 

 kratak. 



Mi ćemo završiti poučkom, da skupovi sadržaja nula, koji 

 su regularni i kojima je skup fundamentalnih točaka u jednom 



