127 



području gust, imaju potenciju kontinuuma, ma kako brzo mi 

 pustili, da konvergiraju k nuli isključeni kvadrati ili krugovi 

 (kod skupova s dvije dimenzije) resp. isključeni intervali (kod 

 skupova s jednom dimenzijom). Dokaz je sličan za ma koliko 

 dimenzija, a izvodi se s pomoću teorema Du Bois Reymonda*) 

 o funkcijama, koje sve više rastu, i jednoga poučka iz teorije 

 verižnih razlomaka razmjerno lako. 



Dakle ma kako brzo opadali isključeni intervali, ipak 

 ne će nikada moći samo fundamentalne točke ostati isključene; 

 skup isključenih točaka nije odbrojiv kao skup fundamentalnih 

 točaka: on ima potenciju kontinuuma. Ovo je vrlo interesantno 

 svojstvo naših skupova. U teoriji funkcija oni su veoma važni, 

 samo ne svi, nego oni, kod kojih isključeni kvadrati (krugovi) 

 resp. intervali dovoljno brzo konvergiraju k nuli. tomu ka- 

 snije. 



O razvojima funkcija u redove polinoma. 



Već smo na početku rekli, kako je Weierstrassu uspjelo 

 definirati s velikom preciznošću pojam analitičke funkcije uz 

 pomoć redova potencija i teorije analitičkoga produživanja. 



Klica se ove teorije nalazi već kod Cauchya, ali Weier- 

 strass ju je prvi doveo do neke zaokruženosti i savršenstva i 

 to je možda njegova najveća zasluga za matematičku znanost. 



Sve točke ravnine kompleksne varijable, koje možemo do- 

 segnuti produživanjem pomoću reda potencija čine za funkciju 

 „prirodno područje eksistencije". Tako je red potencija središte 

 cijele teorije analitičkih funkcija. Iz njega i njegovih svojstava 

 izlazi analitička funkcija i njezina svojstva. Pa ipak ima red po- 

 tencija i svojih zlih strana. Prije svega on nam ne daje direktno 

 singularitete i uopće svojstva funkcije, koju predočuje. On ima 

 svojstvo, da divergira uvijek izvan svojega kruga konvergen- 

 cije (radij je toga kruga udaljenost središta njegovoga od naj- 

 bliže singularne točke funkcije, kako je već Cauchy dokazao). 

 Tako će red potencija uvijek divergirati i u području, u ko- 

 jemu je funkcija definirana i konačna, osim u veoma specijal- 

 nomu slučaju, da se krug konvergencije reda podudara s po- 

 dručjem eksistencije funkcije, ili pak da funkcija uopće nema 



*) IsD.: Borel, Legons sur la theorie des fonctions, str. 111—114. 



