128 



singularnih točaka (kao na pr. e->^), jer onda red konvergira u 

 cijeloj ravnini. 



Zato je bilo opravdano pitanje: ima li kakov drugi mate- 

 matički izraz, kakov drugi red, koji bi konvergirao u ci- 

 jelomu području eksistencijeili bar u području, koje 

 se što manje razlikuje od područja eksistencije. Ne smijemo 

 naime zaboraviti, da su redovi potencija vanredno specijalna 

 vrst redova, koja je došla do znamenitosti radi svoje osobite 

 jednostavnosti i markantnih svojstava. 



Prvi je na ovo pitanje odgovorio C. Runge 1884.*) poka- 

 zavši u jednoj svojoj raspravi, da se svaka uniformna funkcija 

 dade predočiti beskonačnim redom racijonalnih funkcija, koji 

 konvergira u svakoj točki unutar područja eksistencije A i na 

 taj način predočuje funkciju. Runge se kod svojega dokaza 

 okorišćuje činjenicom, da Cauchyjev integral 



'?(xj 



'f (zj dz 



z- 



Cn 



koji nam — uzet uzduž konture Cn — daje vrijednost holomor- 

 fne funkcije 'f(jc) u svakoj točki x unutar te konture, po samoj 

 definiciji integrala nije ništa drugo, nego granica neke sume ra- 

 cijonalnih funkcija. 



Rungeova je radnja važna, jer je ona prvo potpuno rje- 

 šenje problema, o kojemu smo govorili. Osim toga ima u njoj 

 jedna primjedba, koja je za nas i s drugoga razloga zanimljiva. 



Redovi racijonalnih funkcija, koje Runge iz Cauchyjeva 

 integrala dobiva, predočuju doduše funkciju unutar svakoga po- 

 dručja, koje se nalazi u nutarnjosti područja eksistencije, ali 

 imaju polove na granici samoga područja u točkama, u kojima 

 sama funkcija, koju predočuju, općenito ne će biti beskonačna. 

 Runge sad pokazuje, kako se ovi različiti polovi dadu prenijeti 

 svi na jedno mjesto; točnije govoreći, da se onaj prvi red ra- 

 cijonalnih funkcija dade nadoknaditi redom racijonalnih funk- 

 cija, koje imaju polove u povoljno malenom području na gra- 

 nici od A. Ujedno se tamo uz pomoć jednostavne transforma- 

 cije pokazuje, da se oni polovi pod izvjesnim uvjetima mogu 

 specijalno svesti na „točku u neizmjernosti", kako bi se reklo 

 u analitičkoj geometriji. Budući da racijonalna funkcija s polom 



*) Acta Mathem., sv. 6., str. 229-244, 



