129 



u neizmjernosti nije ništa drugo nego polinom, Rungeova nam 

 teorija daje sredstvo, da funkciju f(x) predočimo redom poli- 

 noma, konvergentnim unutar cijeloga područja funkcije. Runge 

 to doduše u svojoj radnji eksplicite ne veli, ali se taj prelaz na 

 red polinoma pod određenim uvjetima iz njegovih razlaganja 

 razabire. 



Primijenimo li ovu opasku o uklanjanju polova na speci- 

 jalni slučaj funkcije kompleksne varijable x = h^i'fi /(Oc j = 



:; *), i prenesemo li polove u točku -j- oo, možemo dobiti 



\ - X ^ 



za funkciju ^, koja ima pol u točki x = 1, razvoj u red 



polinoma 



P,(x) + P/X) 4- . . . + Pn(x) + , 



koji je uniformno konvergentan u svim točkama svakoga po- 

 dručja ravnine Štj kompleksne varijable x, koja leži izvan se- 

 gmenta (1, +x) realne osi. 



Jedno vrlo jednostavno takovo područje jest područje 

 S(/?, p), koje dobivamo ovako: 



Oko točke X = 1 kao središta opišimo krug Cp s polu- 

 mjerom p < 1, a iz ishodišta kao središta opišimo krug C/? 

 s polumjerom /? > 1. Tangente iz O na Cp tangiraju taj krug 

 u točkama A i B, a produljenja tih tangenata sijeku krug C/? 

 u točkama C i D (0, A, C neka su na istom pravcu). Područje 

 S (R, p) jest područje ograničeno zatvorenom konturom, koju 

 sastavljaju ovi dijelovi: a) luk AB kruga Cp manji od polo- 

 vice obodnice; b) segmenti pravaca AC i BD; c) luk CD kruga 

 C/e veći od polovice obodnice. Za dovovoljno veliko R i do- 

 voljno maleno p ovakovo će područje obuhvatati svaku točku 

 ravnine i tj varijable x, koja ne leži na set^mentu (l,oo) realne osi. 



Za naš u području S (/?, p) uniformno konvergentni red 

 polinoma možemo uzeti, da je i apsolutno konvergentan, jer je, 

 ako to već nije samo po sebi istina, moguće zgodnom grupa- 

 cijom članova dobiti uvijek od uniformno konvergentnoga reda 

 red, koji i apsolutno konvergira. To se lako vidi. 



*) Potanje izvedene ove Rungeove ideje o uklanjanju polova na 

 našem primjeru našao sam u članku „Function" u „Encyclopaedia Britan- 



nica". (§ 11. Expression of by means of Polynomials.) 



