130 



Rungeovo rješenje problema, da se neka funkcija razvije 

 u zgodan red konvergentan u području po mogućnosti što op- 

 sežnijem, nije ostalo jedino. Naročito su pažnje vrijedni radovi 

 Mittag-Leff lera,*) koji razvija funkciju u red polinoma, 

 konvergentan u području zvanom „zvijezda". Mittag-Lefflerovi 

 su razvoji usprkos zamršenosti izraza, na koje se tu dolazi, u 

 toliko elementarniji od Rungeovih, što ne upotrebljavaju Cau- 



chyjeva integrala. Primijenjeni specijalno na funkciju daju 



oni za tu funkciju opet jedan novi razvoj u red polinoma kon- 

 vergentan za svaku točku izvan segmenta (1, oo). 



Mi ovdje oblik tih zamršenih polinoma, kao ni onih prvih 

 ne trebamo navoditi, jer za nas je jedino važno, da takovih 



1 , . 



razvoja za ^j uopće ima. 



Uzmimo sada funkciju fix), kojoj točka x =^ nije sin- 

 gularna točka. (Neka smo, ako je eventualno potrebno, izveli 

 takovu supstituciju na x u f(x), da ishodište doista bude re- 

 gularna točka, kako smo uzeli). Neka su «/, a-^. . . , a,„ . . . 

 singularne točke funkcije f(x). Pod „zvijezdom", što pripada 

 funkciji /(Ocj, razumijeval ćemo ovo područje: Iz ishodišta povu- 

 cimo sve moguće poluzrake. Ako poluzraka ne prolazi nijednom 

 od singularnih točaka a,, neka ona sva pripada zvijezdi; ako 

 pak singularitet a, leži na poluzraci, onda neka samo točke 

 dužine Oa, pripadaju zvijezdi Z, a ostali dio poluzrake isklju- 

 čujemo: to su „prerezi" (coupures). 



Mi ćemo razviti f(x) u red polinoma konvergentan u ko- 

 načnom području A (omeđenom kunturom C), koje se nalazi 

 „unutar" zvijezde (to neka znači, da je svaka točka od A točka 

 zvijezde i da granica od A nema zajedničke točke s „prere- 

 zima"). Evo kojim uvjetima mora zadovoljavati A: Zvijezda Z 

 sadržaje poluzraku povučenu iz ili cijelu ili samo dužinu Oa,. 

 Području A neka pripada dužina OP, gdje je P u prvomu slu- 

 čaju točka promatrane poluzrake u konačnosti, a u drugom 

 točka ^üi, gdje je -O realan pravi razlomak. Učinimo to za 

 sve moguće poluzrake iz 0. Geometrijsko mjesto točaka P neka 

 je kontura C, granica područja A. Kontura C ima svojstvo, da 

 je svaka poluzraka iz ishodišta siječe samo u jednoj točki. Skup 



*) Acta Math., sv. 23. 



