233 



t. j. taj integral (2) jednak je nekomu polinomu Q„fx), koji 

 možemo uvijek izračunati. Poradi izraza za f(x), koji smo gore 

 napisali, i poradi relacije (1) mi vidimo dalje, da se f(x) može 

 prikazati beskonačnim redom ovakovih polinoma Qn(x) uni- 

 formno konvergentnim na cijelom području A : 



00 



f(x) =y,Qn(x), 



i tim dolazimo do veoma važnoga rezultata, da se iz reda po- 

 linoma ^l\^(x) za specijalnu funkciju 1 : (1 — x/z) dade 

 izvesti razvoj u red polinoma za ffxj konvergentan u području 

 A unutar zvijezde, ma kako opsežno to područje inače bilo. 



Borel zove*) red ]i] Qn (x) sličnim („semblable") s redom poli- 

 noma S Pn (x), jer su uvijek koeficijenti jedne te iste potencije 

 od X u Pn '\ Qn razmjerni za svako n; t j. ako postavimo 

 Qn(x) = bn,o-\- bn, \X + ö„, 2^-^ + ■ • + t>n, kx\ Imamo : 



'1, i 



02, i bn, i 



Ö1, i Cl2, i On, i 



Brojevi d zovu se koeficijenti sličnosti reda ^Qn(x) obzi- 

 rom na red ^Pn(x). 



Red ^ Qn (x) konvergira apsolutno i uniformno, ako to 

 čini red ^Pn(x) (a kod ^Pn(x) to je, kako već znamo, moguće 

 postići). Iz uniformne naime konvergencije reda ]i] \Pn {y^U)\ sa 

 samim pozitivnim članovima i uz pomoć činjenica, da je in- 

 tegral po definiciji granica sume, a apsolutna vrijednost ma ka- 

 kove sume da je manja ili jednaka sumi apsolutnih vrijednosti 

 pojedinih sumanda, slijedi ova relacija: 



iQ,.rx;i<f^|K(f)|, (3) 



koja je izvedena iz izraza za Q,, (x). To se vidi tako, da se u inte- 

 gralu (2) uzmu najprije apsolutne vrijednosti pojedinih faktora, 

 a onda izračuna gornja granica takvoga integrala po teoremu, 

 da je apsolutna vrijednost kompleksnoga integrala manja od 

 produkta dužine puta integracije i gornje granice apsolutnih vri- 

 jednosti podintegralne funkcije. 



*) U svojoj radnji : Sur les series de polynomes et de fractions 

 rationnelles, Acta Mathematica, sv. 24. (na str. 333.) 



