234 



Borel je kasnije*) opazio, da je za ovo, što sada slijedi, 

 dovoljno zahtijevati samo uniformnu, a ne i apsolutnu konver- 

 genciju reda X Q„ (x) [to čini nepotrebnom i apsolutnu kon- 

 vergenciju ^PhCx/z)], ali ako želimo, da dokazi budu što je- 

 dnostavniji, bolje je ostati kod apsolutne konvergencije, što 

 ćemo i činiti. 



Kao red ^P»^^^ mogu se uzeti bilo Rungeovi, bilo 

 Mittag-Letflerovi razvoji za 1 : (1 — xlz). Borel je na početku 

 radio s ovima drugima, dok u kasnijim radovima upotrebljava 

 i one prve, izvedene na temelju Rungeovih ideja, kako bi ista- 

 knuo neovisnost svojih rezultata od onih Mittag-Lefflera. 



Sad ćemo definirati funkciju M (R, p), koju Borel nazivlje 

 „funkcijom majorantom" (ona se razlikuje od onoga, što se 

 obično zove majorantom). Mi znamo, da ^Pn(x) konvergira 

 u području S (/?, p), ma kako velik bio R i ma kako malen bio 

 p. Budući da je red ^Pn(x) uzet apsolutno i uniformno 

 konvergentan, imat će neprekidna funkcija ^,Pn(x.)\ u per- 

 fektnom području S(/?, p) maksimum }A(R, p). Nama je 

 dosta znati, da je funkcija M (R, p) od 7? i p konačna vehčina. 

 U primjenama treba taj M (/?, p) za odabrani pomoćni razvoj 

 X Pn uvijek odrediti. 



Kad znamo M (R, p), možemo odrediti i maksimum od 

 YA\Q.n(x)\. Mi smo imali kod dokazivanja apsolutne konvergen- 

 cije reda ^Qn(y^) relaciju (3), koja nam odmah daje: 



gdje veličine 7W, L imaju isto značenje kao i prije [Ne treba 

 zamijeniti M s funkcijom majorantom M (R, p)]. Kad je x u A, 

 a z na C, x/z je u nekom izvjesnom Sf/?, p^*. Iz gornje relacije 

 izlazi : 



^\Qn(x)\<~.ML.M(R,pj. 



ZTT 



Neka je sada red s konstantnim članovima XA« konver- 

 gentan. Uzmimo beskonačnu množinu točaka a„ (/2 =1, 2, . . .), 

 koje se sve nalaze u kružnome vijencu sa središtem u ishodištu 

 i radijima a i ß : a < |a„i < ß. Ove točke a„ bit će singularne 

 točke za funkciju f(x) definiranu konvergentnim redom racijo- 



*) Isp. : Addition au memoire sur les series de polynomes . 

 Acta Math., sv. 24., str. 383. 



