235 



^ A A 



nalnih funkcija >] — ^ ; svaki član — ^ ovoga reda ima kao 



X ün X ün 



n=l 



singularitet po jednu točku a,,. Kako se svi singulariteti nalaze 

 u kružnom vijencu, dat će se funkcija f(x) u točki x = ra- 

 zviti u Taylorov red, sigurno konvergentan unutar manjega od 

 krugova, što određuju kružni vijenac. Neka taj razvoj glasi: 



f(x) = Co 4- Cl X -j- C2 X 2 + . . . + c- X ' + . . . 



Pomoću ovih veličina co, Ci, c^, . . ., c-, . . . i pomoću ra- 

 zvoja '^Pn možemo onda — načinom već prije opisanim — 

 načiniti „slični" red polinoma ^Qn(x), koji predočuje funk- 

 ciju f(x). 



Iako su točke a« posve povoljne (jedino njihov skup mora 

 biti odbrojiv, da ih možemo numerirati) i prema tomu mogu 

 činiti ili u cijelomu gore spomenutomu kružnomu vijencu ili u 

 nekim njegovim dijelovima gusti skup točaka, ipak se dade 

 pokazati, da je moguće veličine An podvrgnuti takovim uvje- 

 tima, da red ^ Qn (x) konvergira na beskonačno mnogo po- 

 lumjera većega od dvaju krugova, što određuju kružni vijenac. 

 Iz dokaza se još razabire, da tih „polumjera konvergencije" ima 

 neodbrojiva množina unutar svakoga (ma kako malenoga) kuta, 

 kojemu je vrh u ishodištu. 



Neka je dan slijed pozitivnih veličina wo, «i, «2, • • • takov, 

 da je red i;w„ konvergentan. Mi ćemo oko svake točke a„ 

 opisati krug s polumjerom a «„. Taj se krug sa središtem u a« 



vidi iz ishodišta pod kutom 'f. Odmah se vidi, da je -, — ^| = sin -| 

 ili 4) = are sin , — - ; dakle je poradi ; — ^ < 1 : 



I 0« I \(ln\ 



'f < 2 are sin Un, 

 a svi ovi krugovi sa središtima i razHčitim točkama a,, vide se 

 iz ishodišta pod kutovima, kojih je suma svakako manja od 

 sume reda: 



00 

 2 y are sin «„, 



;i=l 



koji je red uvijek konvergentan, kada i ^m„. 



Poradi konvergencije moguće je naći dovoljno velik broj 

 p takov, da bude 



