238 



00 00 



Ar. 



, , a« Vom/ 



00 



a ovo je jednako nekomu redu ^ Q'„ fx^, gdje je 



Q'«W= I -t'^"(Ž)- 



Nije teško pokazati, da je red polinoma X Qu sličan 

 s redom polinoma ^ Pn, te da su koeficijenti sličnosti baš koefi- 

 ficijenti c, Taylorove razvidbe za f(x) u točki x = 0. Drugim ri- 

 ječima: polinomi Q „ identični su s polinomima Q„. Tim je 

 izveden i obećani dokaz za konvergenciju reda polinoma /(Oc^ = 

 Y.Qn(x) na radijima konvergencije. 



Tim smo došli do vrlo čudnoga i u klasičnoj teoriji ne- 

 običnoga rezultata, da red polinoma, koji predočuje f(x), kon- 

 vergira i unutar kružnoga vijenca, gdje je skup singulariteta 

 općenito gust, na radijima konvergencije, kojih možemo povući 

 u svakom kutu iz ishodišta po volji mnogo. Neobično je tu, 

 što skup singulariteta, koji može svagdje u kružnome vijencu 

 biti gust, samo ako je odbrojiv, nije eto redovima polinoma 

 zaprijekom, da nam i u tomu području predočuju funkciju /(x^. 



Ovaj rezultat dobiven za redove jednostavnih razlomaka 



oblika ^ — ^^— nije teško posveopćiti i na redove općih raci- 



m X U IH 



T (x) 

 jonalnih razlomaka oblika ^ -f T \ \ , gdje su T,,, i /?,, polinomi 



,„ IXm (xj 



u X, a singulariteti funkcije, t. j. korijeni nazivnika R„> (x), na- 

 laze se kao i prije unutar kružnoga vijenca s radijima a i ß. 

 Kao gore treba onda koeficijente brojnika T,n(x) podvrgnuti 

 izvjesnim uvjetima, da se dobiju radiji konvergencije. 



Ovo, što smo našli o radijima konvergencije unutar gu- 

 stoga skupa singularnih točaka, postaje još važnije, ako se ispo- 

 redi s rezultatima, koje je Borel našao o redovima racijonalnih 

 razlomaka općenitog oblika : 



^■^ ^ Rn(x)- 



Stepen polinoma T„ i /?„ suponira se manjim od neke čvrste 

 granice. Borel je naime našao, da pod izvjesnim uvjetima, koji 



