240 



konvergencije, oni će krivulju K sjeći u točkama, kojih je skup 

 svagdje na krivulji gust, a kako je krivulja K krivulja, na kojoj 

 je funkcija neprekidna, bit će funkcija s pomoću redova )LQn(x) 

 na ovaj način određena na cijeloj krivulji K. 



Tako se u neku ruku sama nameće ideja o posveopćenju 

 analitičkoga produživanja, a da se to pokaže, bila je i svrha ovih 

 razmatranja. Gusta mreža singularnih točaka, u koju Taylorov 

 red potencija nikako ne prodire, nije zaprijekom našim izrazima, 

 pa se s pravom trebalo pitati, ne bi li se dala načiniti potpuna 

 teorija funkcija u ovakovim područjima. 



Svojstva samih redova polinoma trebat ćemo i kasnije. 

 Borel ih ukratko nazivlje redovima (M), jer je prvi funkciju 

 razvio u red polinoma Mittag-Leffler. Redovi (M) mogu biti 

 različitoga oblika, jer pomoćni razvoj Y. Pn može biti različit. 

 Uzmu li se za polinome P„ oni, koji izlaze primjenom u gla- 

 vnom Mittag-Lefflerovih rezultata, t. j. postavi li se 



P»(X) =- gn(x) ~ gn-l(X), 



gdje je gn(x) =■ 



4n 



V V V (M + >-2+...Au)! /x\ 



^ ^ '■' ^ Xi!X2!...XJ '\n) 



go(x) = 1, 



32 R 



dobiva se: N[ (R, p) <i R ^ ^ ^ .U primjenama treba se 



odlučiti za jedan određen oblik. 



Redovi (M) imaju veoma važno svojstvo: Načinjeni po- 

 moću vrijednosti funkcije i njenih derivacija oni su identički 

 j ednaki nuli, ako je funkcija identički jednaka nuli. 



Monogene neanalitičke funkcije i njihova svojstva. 



Rezultati, do kojih smo malo prije došli, čine se tako ne- 

 običnima unutar granica klasične teorije funkcija, da je Borel 

 već u svojoj disertaciji (1894.) upozorio na potrebu proširenja 

 teorije analitičkoga produživanja, a u radnji o redovima (M) 

 uskliknuo : „/' Observation attentive des faits analytiques y (naime 

 do toga proširenja) conduit naturellenient ; on voit la fonction 



