241 



analytique traverser, par des passages infiniment etroits, la cou- 

 pure*) qui paraissait infranchissable" . (Acta Math., 24., str. 381). 

 Svojstva razvoja (M) zapravo su nas već dovela do funk- 

 cija, koje su u izvjesnim područjima monogene [t. j. imaju od- 

 ređenu derivaciju, dok varijabla ostaje u izvjesnom području, 

 u kojemu je možemo doseći produžujući je redovima (M)], pa 

 makar singulariteti funkcije činili i skup točaka svagdje gust. 

 U svakom dijelu takvoga područja možemo povući neizmjerno 

 mnogo pravaca konvergencije, pravaca, na kojima redovi (M) 

 konvergiraju. Tim nam je eto dan način, kako ćemo izračunati 

 vrijednost funkcije u različitim točkama područja, gdje je očito 

 ne bismo mogli doseći klasičnim načinom „analitičkoga" pro- 

 duživanja, t. j. redom potencija, jer konvergentni red potencija 

 mora imati cio jedan krug konvergencije, o kojemu ne može 

 biti govora tamo, gdje je skup singulariteta gust. Dodosmo 

 dakle do monogenih, ali neanalitičkih funkcija. 



No ove ideje, koje manje više razvijene nalazimo već medu 

 prvim radovima Borela, nisu mogle posvema zadovoljavati. H. 

 Po in care izrazio se**) (na temelju jednoga svojega rezultata) 

 uopće protiv pokušaja, da se generalizira teorija analitičkoga pro- 

 duživanja, a Mittag-Leffler također se skeptično izrazio***) 

 vrijednosti rezultata, koje je Borel — logički dakako bespri- 

 korno — dobio. Redovi polinoma i racijonalnih funkcija mate- 

 matičko su oruđe kudikamo općenitije, nego redovi potencija, 

 pa nemaju tako precizirana svojstva kao redovi potencija. Zato 

 je posve prirodno, da se teoretski savršena teorija funkcija naj- 

 prije razvila baš uz pomoć redova potencija. Specijalno onaj 

 fundamentalni teorem Weierstrassove teorije, koji daje vrijednost 

 toj teoriji: „Jednim elementom određena je funkcija u cijelom 

 svom području eksistencije" nije mogao naći analogona u novoj 

 teoriji. Redom se naime potencija, kako je poznato, funkcija 

 dade prikazati u nekoj točki na jedan jedini način, t. j. koefi- 

 cijenti O: reda potencija 3^ C;;X'^' posve su točno određeni brojevi, 

 dok naprotiv ima različitih vrsta redova polinoma, te je veliko 



*) Francuzi s „coupure" označuju dvije bitno različite stvari. Ovdje c. 

 nastaje, jer su singulariteti gusti, dok je kod definicije „zvijezde" c. bila 

 nešto drugo. 



**) U „American Journal of Mathematics", XIV. 



***) U svojem predavanju na matem. kongresu u Rimu 1908. Preda- 

 vanje je štampano u „Atti del IV. Congresso dei matematici " 



