245 



lim , — „-, = 0, 

 rn 

 dolazimo konačno do Cauchyjevih područja C. 



Mi ćemo vidjeti, da se i u ovakovim područjima dade 

 razviti teorija monogenih funkcija. Kako ćemo cijelu stvar ba- 

 zirati na pojmu monogenosti, koji je općenitiji, nego pojam 

 analitičnosti, dobro će biti za područja C definirati monogenost: 

 f(x) je monogena u C, ako je 1.) neprekidna u C, 2.) ima po- 

 sve određenu derivaciju u C. Kad kažemo „u C", onda mi- 

 slimo : za sve točke od Ca za bar koje h (C^ je unutar C). To 

 je analogno onomu, kad u klasičnoj teoriji radimo s krugovima, 

 koji su unutar krugova konvergencije, jer na obodnici kruga 

 konvergencije ima možda singularnih točaka. Definicija nepre- 

 kidnosti i derivacije neka je i ovdje dana poznatim načinom, 

 ali Xo+ /\Xo neka prema xo konvergira samo točkama od Q; 

 ne samo xo nego i svaki xo-{- l\Xo za bar koje h neka pripada 

 kG. Još ćemo suponirati i neprekidnost derivacije „u C". Slično 

 se jednostavnosti radi kod dokazivanja glavnih poučaka i u 

 klasičnoj teoriji čini, premda je Goursat dokazao, da to nije 

 potrebno. 



Sada ćemo povući konsekvencije monogenosti funkcije 

 f(x) u C. Osnov su cijele klasične teorije funkcija dva poznata 

 Cauchyjeva teorema. Jedan veli: Ako imamo neko područje 

 W omeđeno konturom S,,, a singulariteti od f(x) su zatvoreni 

 u konture S^ Sg, . . . I^ unutar \, onda vrijedi jednažba 



f(x) dx=^ 



V 



^0 i = l J 



V 



f(x) dx. 



Drugi teorem glasi, ako sa S označimo sve konture \, \, . . . 

 I„, i ako je a povoljna točka područja unutar S^, a izvan Sp 



V 



m = 



2% i 



f(x) dx 

 X — a 



Ove je dvije formule moguće posveopćiti na nova područja. 

 Bitna je razlika prema područjima W, da ovdje ulogu X,, Xg»--- 

 Sn igra beskonačna množina isključenih krugova, koji su svagdje 

 u krugu \x\ < 1 gusti. „Prva" Cauchyjeva formula glasi ovdje : 



