246 



f(x) dx 



f(x) dx, 



l\n, h 



(1) 



gdje je K neka zatvorena krivulja, kojoj sve točke leže u C/„ a n 

 treba da poprimi sve vrijednosti, za koje su krugovi K», /, unutar 

 područja omeđenoga konturom K. Rastavimo f(x) u realni i 

 imaginarni dio: f(x) = P{i,f\)-\-iQ{i,'ri)', onda je 



j>xMx = JlP(a,r^) + /Q(^,7j)].(cf6 + /^Y]) 



= \^{Pdi - QcfYj) + i^{Qdi-^Pd-fi) 



Lijevi integral i desni integrali u (1) raspadaju se dakle u realni 

 i imaginarni dio, .pa treba dokazati, da su realni dijelovi desno 

 i lijevo jednaki, a isto i za imaginarne. Dokazi su isti, pa je 

 dosta jedan od njih izvesti, t. j. dokazati 



Fdi—Qd'fi= 2 



JK 



Pdi — Qdq 



Kn, h 



(2) 



Evo dokaza u glavnim crtama. Za sve točke područja 

 omeđenoga krivuljom K definira Borel dvije pomoćne funkcije 

 Pi i^y'f]) i Qi (^''^i)» koje se podudaraju s P i Q u onim to- 

 čkama, u kojima su P i Q definirane, t. j. na C/„ a unutar kru- 

 gova K„, ;,, gdje P i Q nijesu definirane, neka su P^ i Q^ odre- 

 đene ovako: 



Uzmimo jedan krug K„, /,. Da nađemo vriiednost od P^ u 

 točki M (^, Tj) unutar toga kruga, povucimo kroz M paralelu 

 ^ = konst. s osi'/]. Budući da obodnica od Kn, h pripada k C/,, 

 bit će P (dakle i Pj) određena u sjecištima A {i,'f\A) i B {i,riii) 

 te paralele s krugom. U M neka je P^ dano linearnom interpo- 

 lacijom između A i B, t. j, neka je 



P,(6,Yi) = P,(a,^.0 



Yj — 7J.4 



[P, (^,-r].)-Pia,r,..0]. 



'f\8--r\A 

 Slično se vrijednost Qi{i,'(\) definira relacijom 



Q^ (^. ^) = Qi (^c. vj) + A^ . [Q, {in, -n) - Q, (Še, Y])] , 



SD — T\C 



gdje je CMD paralela s osi k, koja siječe krug K„, /, u točkama 

 C {ic^'f\) i D {iD^'(\). Pj i Qi su dakle neprekidne funkcije i 

 određene unutar cijeloga područja omeđenoga krivuljom K. De- 



