152 



U formuli, koja nam daje posveopćeni drugi Cauchyjev 

 stavak, možemo sve integrale na desnoj strani, budući da su 

 to regularne funkcije na netom spomenutim iz a potegnutim 

 pravcima, koji leže u T/,, razviti u redove polinoma (M), kojih 

 smo svojstva već spomenuli. Svaki od neizmjerno mnogo inte- 

 grala dat će jedan beskonačni red, pa ćemo tako dobiti dvo- 

 struki red, za koji ćemo dokazati apsolutnu konvergenciju. 



Uzmimo jedan od integrala u sumi I drugoga Cauchyjeva 

 stavka : 



1 



2 7r/ 





Mi ćemo ga razviti u red na jednomu gore spomenutom 

 pravcu unutar T/,. Sve su točke a takvoga pravca od svake 



fj 

 točke ttn udaljene za više nego li ^^, • Kako integriramo uzduž 



f(x) 

 K„, /<, mi ćemo veoma malo pogriješiti, ako u funkciji -^- na- 

 zivnik zamijenimo sa a„ — a, jer je krug K„, /, opisan oko a^ 

 veoma malen prema udaljenosti točke a„ od točaka a našega 



pravca, koja je sigurno veća nego li ^^^- (To slijedi iz odno- 



šaja prt prema r„). Izraza« — a ostaje kod integracije konstantan; 

 ako s Ni označimo maksimum od f(x)\ bit će dakle: 



1 



2rA 



K». u 



f(x) dx 1 M 2i:rn ^ 1_ ' Mtn \ 



IH- o "^2- ün-a' 2" ' "Ž"" On-al 



(1) 



jer je dužina puta integracije uzduž K„. /, manja od 2 ^^tt. Da- 

 lje imamo: 



1 Mn^ _ Mrn 1 



2'' ' ttn — a ~ 2'' a„' a , 



a u 



No izraz -koji je oblika , .-znamo razviti u red 



a ^ •• 1a- 



a,, 



polinoma )1 Pn(x'j. Mi već znamo, da je red apsolutnih vrijed- 

 nosti X Pn(x) , ako je x unutar područja S (R, p), po definiciji 



