155 



kvencije (neovisnost sume o poredaju članova, itd., kao prije 

 jednom), pa prema tome i valjanost razvoja (M) za predoči- 

 vanje naših funkcija. Razvoji (M), konvergentni, kako eto vi- 

 djesmo, na izvjesnim pravcima unutar T/,, mogu služiti za pro- 

 duživanje naših funkcija. Oni se mogu uvijek odrediti uz pomoć 

 vrijednosti funkcije i njezinih derivacija (za koje smo već do- 

 kazali, da postoje) u nekoj točki.*) 



Dade se pokazati, da s pomoću redova (M) možemo funk- 

 ciju f(x) iz ma koje točke a područja I" produžiti u ma koju 

 točku b istoga područja. Iz a i ö je naime moguće povući u 

 smjerovima, koji se po volji malo razlikuju od svakoga danog 

 smjera onih pravaca, što leže posve unutar l\ za dovoljno ve- 

 liko li. Pravac p iz a i pravac q h b neka se sijeku u c. Onda 

 je dosta načiniti pomoću funkcije i njezinih derivacija u točki 

 a razvoj (M) konvergentan na p i odavde izračunati funkciju i 

 njezine derivacije u točki c. Ako onda pomoću ovako izraču- 

 nanih vrijednosti u c načinimo novi razvoj (M), on će biti kon- 

 vergentan na q, jer je c na q; no taj novi razvoj (M) daje nam 

 odmah vrijednosti funkcije u b, jer je i ova točka na q. Da 

 dakle izračunamo funkciju u b iz vrijednosti te funkcije u a. po- 

 trebno je načiniti samo dva razvoja (M)! U tomu pogledu 

 naš novi način produživanja ima čak prednost pred analiti- 

 čkim produživanjem: da iz neke povoljne točke a područja W 

 dođemo analitičkim produživanjem u povoljnu točku b područja, 

 treba načiniti neki konačni broj p Taylorovih razvoja; kako 

 znamo općeno će broj p biti veći od 2. Ako je funkcija i nje- 

 zine derivacije identički jednaka nuli u a, onda je, kako smo 

 to u svoje vrijeme već rekli, i razvoj (M) identički jednak 

 nuli. Specijalno su dakle jednake nuli vrijednosti funkcije i 

 njenih derivacija u c, a isto to vrijedi onda i za točku b. Dru- 

 gim riječima: funkcija ne može biti u jednom dijelu područja 

 identički jednaka nuli, a da ne bude u cijelomu području je- 

 dnaka nuli. Bez ovoga važnoga svojstva novoj se teoriji ne bi 

 mogla priznati vrijednost. 



Tim smo na kraju našega pregleda monogenih neanali- 

 tičkih funkcija. Za direktnu primjenu ovih funkcija ima kod Bo- 



*) Razvoji (M) izračunani su pomoću vrijednosti funkcije i deriva- 

 cija u točki X = 0. Međutim tu možemo načiniti istu primjedbu kao i u 

 svim sličnim pitanjima (Taylorov red itd.): nije bitna razlika, ako mjesto 

 jc = pomišljamo drugu točku; onda cijela stvar izlazi na jednostavnu 

 transformaciju koordinata. 



