DE LA RELATIVITÉ 
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trièdre S, à la voie, un trièdre S, au train, et 
admettons que les systèmes ainsi formés soient 
galiléens. Tout mobile, une pierre en mouve- 
ment par exemple, occupe à chaque instant un 
point déterminé P par rapport au système ab- 
solu Y. Supposons qu'un premier observateur 
placé le long de la voie, et un second observateur 
entraîné avec le train repèrent la position de la 
pierre au même instant. Le premier lui attri- 
buera la position P,(x,,y,,3,) dans S, et l’autre 
la position P, (x,, y», &,) dans S, ; par hypothèse, 
P, et P, coïncident avec P; nous disons qu'ils 
coïncident dans l'Espace. 

Soient : 
DONC dy, d?5, 
(5) re —{(t); de —=£glt); Ge = (0 
les accélérations du mobile rapportées au train. 
Pour avoir les accélérations relativement à la 
voie, il suffira de faire un changement de varia- 
bles. Ici ce changement se présente sous la 
forme simple suivante: 
(6) Zo—2i—vt; Y2—Yi5 3330 
d’où l’on tire : 
7) _ RTE Pa va. =: 
l de de dé dE 
de sorte que les équations aux accélérations ont 
la même forme dans les deux systèmes. On 
exprime cette propriété en disant que les mouve- 
ments mécaniques satisfont au principe de rela- 
tivité pour tout système galiléen (Relativité /ëmi- 
tée). Ainsi, quant aux accélérations, les deux 
systèmes S, et S, sont parfaitement équivalents ; 
ils sont indiscernables. 
En langage mathématique, la propriété précé- 
dente signifie que les équations aux accélérations 
sont covartantes pour la substitution galiléenne 
(6), qui est Zincaire. 
Les théories modernes se sont emparées de ce 
fait mathématique et l’ont utilisé en vue de pré- 
ciser la notion de relativité. Aujourd’hui, relati- 
vité et covariance sont synonymes. 
La covariance joue un très grand rôle en Géo- 
métrie analytique. Ainsi, par exemple, la dis- 
tance de deux points : 
(2 — a} + (y —D'} L(z'—c) —(x—a) 
+(y—bP+(s—c), 
la distance d’un point à une droite dans le plan : 
a'x' + by —d' ax +by—d 
Va?ED? Va? 
sont des covariants; leur premier membre se 
transforme dans le second lorsqu'on remplace 
x", y', z'par les relations linéaires en x, y, z qui 
expriment le changement d’axes, et ce second 
membre reprend la même forme que le premier. 




De semblables substitutionslinéaires ne sont pas 
arbitraires ; elles possèdent un ensemble de pro- 
priétés qu'on résume en disant qu’elles forment 
un groupe; cela correspond au fait qu'on peut 
passer d’un système à l’autre en utilisant un 
nombre quelconque de systèmes intermédiaires 
sans altérer le résultat final. Voici une remarque 
précieuse concernant ces substitutions : on voit 
sur les relations (6) qu’on les obtient résolues 
par rapport à l’un ou à l’autre des systèmes de 
variables en permutant les indices et en chan- 
geant le signe de la vitesse v. 
Précisons ce qui précède en essayant d’imiter 
la relativité avec les phénomènes acoustiques. 
Supposons les systèmes S, et S, plongés dans 
l'air, et produisons à leurs origines, au moment 
où elles coïncident, un signal sonore bref. Pour 
lesystème-voie, immobile relativement à la masse 
d'air, les ondes sonores formeront une sphère de 
centre fixe et de rayon croissant proportionnelle- 
ment au temps; nous l’écrirons : 
(8 x?+yt+z—Vra—0, 
en désignant par V la vitesse du son. Relative- 
ment au train, la propagation s’effectue selon la 
relation : 
(9) (a+) + yi+ si Ver 0. 
C’est la même sphère, disons-nous, mais dont le 
centre se déplace avec la vitesse — p. La relati- 
vité n’est pas satisfaite, puisqu'il n’y a pas cova- 
riance, autrement dit puisque le phénomène ne 
s'exprime pas par des équations de même forme 
dans les deux systèmes. Voyons s’il est possible 
d'introduire la covariance par un changement 
convenable de variables. Imaginons qu’il y ait, 
tout le long du train, des observateurs dont les 
montres sont réglées de façon à marquer le 
temps : 
(10) 
On voit alors que la propagation s’exprimera par 
la relation : 
HAN y vie 0, 
de même structure que (8). 
Ce résultat appelle les remarques suivantes. En 
premier lieu, nous constatons que, pour obtenir 
une équation de la forme désirée, il faut une 
relation de plus : aux trois relations de la trans- 
formation galiléenne (6), on doit ajouter la rela- 
tion {10); celle-ci porte sur le temps et exige 
qu’on mesureles durées avec des nombres diffé- 
rents, selon qu'on est sur S, ou sur, . 
Remarquons qu'iln’y a à cela aucune difficulté 
de principe. Sur une montre, par exemple, on 
