règle d’addition : 
DE LA RELATIVITÉ 
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différents, l'observateur quiest sur S,, par exem- 
ple, ne voit pas S, et S, dans leurs positions 
vraies, mais dans des positions apparentes S;,, 
et S,,,. Si l’on se place sur S,, S, etS, prennent 
les positions apparentes S,,, et Sa», ete. 
Remarquons d’ailleurs que, si les vitesses sont 
faibles comparées à celle de la lumière, les ik 
sont voisins de zéro, et l’on peut négliger le 
produit #,»%3 devant l'unité; la relation (21) 
devient identique à (20). 
Pris deux à deux, les systèmes se meuvent 
comme des touts rigides indéformés, et l’on 
peut représenter leur mouvement par les rela- 
tions : 
Kio = Xasy + Pants No3 = X 359 + Post; 
Ka X3s4 + Past. 
Nous résumerons toutes ces propriétés remar- 
quables en disant que {a Théorie de la relativité 
limitée exprime, physiquement, des mouvements 
avec aberration. 
Ces résultats offrent un grand intérêt pour le 
mathématicien, car ils lui fontconnaitreune nou- 
velle opération spatiale, l’« aberration », qui 
vient s’ajouter aux opérations connues : la trans- 
lation, la rotation et la déformation. L’« aberra- 
tion » est la représentation dans l’espace d’un 
alsorithme nouveau, qu’on peut appeler « déri- 
vées homogènes ». La transformation de Lorentz 
porte, en effet, sur 4 variables x, y, 3, u, et 
comme nous sommes dans un espace à trois di- 
mensions, on pourrait se croire en présence de 
coordonnées homogènes. Mais l’homographie 
qui en résulte n’offrirait que peu d'intérêt pour 
nous. Si, par contre, on dérive d’abord la trans- 
formation relativement au temps, puis qu’ensuite 
seulement on forme les quotients — ainsi que 
nous l’avons fait, — on obtient une relation 
entre des «vitesses homogènes », qui exprime la 
l’homographie n’a pas lieu 
pour les coordonnées ; elle a lieu pour les vi- 
tesses. “7 
En exprimant que le système S, se compose 
d’un train d'ondes planes faisantrespectivement 
les angles », et, avec les axes O,x, et O,x,, on 
trouve l’expression de l’aberration astronomique. 
Commençons par chercher les relations du phé- 
nomène de Doppler-Fizeau. Posons : 
Ati CAT, COS y, AT — CAT) COS po, 
et portons cette dernière valeur dans la quatrième 
relation (16); on obtient : 
(22) Ar, —Ar)B(1 + « cos y), 
où Ar, et Ar, sont des expressions numériques 
différentes de la même durée. En permutant les 
indices et changeant le signe dex, on obtiendrait 
REVUE GÉNÉRALE DES SCIENCES 
la relation résolue par rapport à Ar,, de sorte que 
si l’on passe aux périodes, — ou à leurs inverses 
les fréquences N,et N,, — comme nous avons 
passé de (12) à (13), on peut écrire les deux rela- 
tions : 
(22) N,=N,8(1 + « cos #2); No — N,Bl1 — « coso,), 
qui permettentde calculerl’effet Doppler-Fizeau. 
Plaçons sur S, une source lumineuse émettant la 
raie D et braquons un spectroscope perpendicu- 
lairement à O,x,. Il faut poser 
T 
A5 COS? —=0, N,—=Nr; d’où : 
(23) N,=N Vi. 
Ainsi, une source qui passe devant un obser- 
vateur paraît plus rouge qu’une source identi- 
que au repos par rapport à lui. Les rayons émis 
font avec O,x, un angle », dont le cosinus est 
— «; leur vitesse c, dans S, est c, rapportée à S,, 
on trouve sa valeur en dérivant (22) par rapport 
à {après avoir multiplié cette relation par c,; 
il vient simplement : 
(24) Cy= co VIT — = Ver — #2. 
En divisant (23) par (24), on obtient une rela- 
tion entre les fréquences et les vitesses corres- 
pondantes de la lumière. On a, d’une façon 
générale : 
‘: Des deux relations (22’), on tire : 
a + COS 9 
1+ «cos en 
équation qui exprime l’aberration astronomique 
et qu’on peut déduire de (21), comme nous le 
disions. 
Supposons qu'un tube S, soit parcouru par un 
courant d’eau S,, dans lequel se propage un fai- 
sceau lumineux S,. Nous poserons, en appelant, 
n l'indice de réfraction de l’eau : 
(25) cosy, — 
1 
er Ce 
et la relation (21) donne : 
1 
Pat 1 1 
GÊ— F A ia (:— :); 
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l’on tombe immédiatement sur le coefficient 
d'entrainement partiel de Fresnel. 
Quant à la célèbre expérience de Michelson et 
Morley, elle s’explique par le principe même de 
la constance de la vitesse dela lumière. Il en ré- 
sulte, en effet, que quelles que soient les obser- 
vations faites à la surface de la Terre avec des 
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