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Enouarp GUILLAUME. — LES BASES DE LA THÉORIE 

1° La première est essentiellement formelle. 
On choisit un phénomène quelconque, dont on 
connaisse l'expression analytique dans un sys- 
tème de référence; puis, on cherche tous les 
systèmes de coordonnées, en général curvilignes, 
qui conservent au phénomène la z76me expres- 
sion analytique; on admet que chaque système 
exprime l'effet d'un champ de gravitation ou 
d'un état de mouvement correspondant. On 
comprend dès lors le mot pittoresque par lequel 
Einstein désigne ces systèmes : il les nomme 
« mollusques » de référence. Ne viennent-ils pas, 
en effet, s'’accrocher aux phénomènes, tels des 
moules qui s’agrippent aux rocs? 
Comme phénomène, il est naturel de prendre 
les sphères lumineuses, dont nous avons déduit 
la transformation de Lorentzetlathéorielimitée. 
Chacune d'elles définit un système de référence 
ordinaire, dans un espace isotrope, sans champ 
grayifique. Envisageons donc les équations (15) 
etvoyons comment nous pouvons les utiliser. Il 
est évident qu’elles restent des covariants de la 
transformation de Lorentz, même si nous ne les 
égalons pas à zéro. Nous supposeronsles sphères 
lumineuses infiniment petites. Pour mettre en 
évidence la signification mathématique de leurs 
équations, nous substitueronsauxlettres Z,7,3,u 
les variables X,, X,, X,,EX,, (— ÿ—1), de sorte 
qu’on peut poser pour le premier membre de 
l'équation d'une sphère élémentaire : 
(26) ds®—dX;+dX;+dXi+aX;, 
et l’on voit que ds n’est pas autre chose quel’élé- 
ment de ligne dans un espace fictif à quatre 
dimensions. Le problème consistealors à former 
tous les systèmes de coordonnées possibles, en 
général curvilignes, qui laissent inaltéré cet 
élément linéaire, c’est-à-dire pour lesquels la 
sphère lumineuse élémentaire reste une sphère. 
En coordonnées curvilignes, cet élément aura la 
forme : 
(27)  d=g?,dr!t gi, di +. 
+ 2840 d27, drs + + Lo. 
Les quantités 2 sont des fonctions des x, carac- 
téristiques du champ de gravitation considéré. 
Leséquations du mouvements’obtiennent,comme 
en Mécanique, lorsqu'on introduit les coordon- 
nées généralisées c'est-à-dire en déterminant 
les géodésiques de l’espace fictif à quatre dimen- 
sions qui rendent minimum l'intégrale f ds. 
Quant aux calculs, nous renvoyons le lecteur à 
l'excellent exposé que M. Léon Bloch a fait ici 
même.(n° 23, du 15 décembre 1917, p. 662). Nous 
nous attacherons plus particulièrement à donner 
upe interprétation physique aux résultats obte- 
nus. 
Observons. d’abord que les ZX ne sont pas, en 
général, des différentielles exactes des nouvelles 
variables x. On lève aisément l’indétermination 
qui en résulte en remarquant qu'il s’agit ici non 
de correspondances spatiales, mais decorrespon- 
dances, entrée mouvements. Endivisant les formes 
quadratiques ci-dessus par d2?, on introduit 
explicitement les vitesses et l’on donne un sens 
aux substitutions qui permettent de passer de 
l’une à l’autre forme. Maïs alors quelle significa- 
tion convient-il d'attribuer aux coordonnées X 
et x? C’est ce qui nous reste à voir. 
20 A ceteffet, nous devons faire remarquer que 
la covariance sur laquelle repose toute la Théorie 
est purement formelle; elle découle de notre 
premier postulat ; le second postulat ne la laisse 
pas subsister zumériquement. Pour comprendre 
ce point essentiel, envisageons tous les systèmes 
galiléens possibles : S,, S,, S;, .… Des équations 
des sphères lumineuses élémentaires, nous pou- 
vons déduire les relations suivantes, covariants 
de la transformation de Lorentz : 
2 2 2 72 
du?— dx? — dy} — dz° 
= du? — dx? dy}—d3}—=.…., 

ou, en introduisant l'élément de ligneà3 dimen- 
sions ds et en posant ds, = 0: 
du? =du;—dri=du; — do; =... 
Un mathématicien n’hésitera pas à dire que l’élé- 
ment du, est un invariant ; les égalités précéden- 
tes représentent, en effet, tous les triangles 
rectangles ayant du, pour cathète commune. 
Divisons ces expressions par d{; on obtient en 
remplaçant du : dt par c et ds : dt par v: 
(28) 
n" 
mathématiquement c, est aussi un invariant et 
représente la cathète commune à tous les trian- 
gles (c, p). 
Cela dit, introduisons le prinçéipe de la cons- 
tance de la vitesse de la lumière. On constate 
immédiatement qu’il n’est compatible avec l’in- 
variance que si seul c, avait la valeur numérique 
invariable c,; ce n’est évidemment pas le cas. 
Reportons-nous par exemple à la relation (24); 
nous voyons que «,-et non c, est égal à c,; si la 
source était sur S,, il faudrait poser c,— «,, ete. 
Nous allons profiterde cette circonstance pour 
donner à la Théorie générale, par analogie, 
une signification physique simple. Les équa- 
tions (26) et(27) représentent mathématiquement, 
avons-nous dit, le méme élément de ligne, — la 
mème sphère lumineuse élémentaire, — parrap- 
port à des axes différents. Or, rien ne s’opposea 
ce que nous admettions le postulat suivant : 
12 A2 pen 2 ee fe 
EE mA CL 
