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BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 

BIBLIOGRAPHIE 
ANALYSES 
4° Sciences mathématiques 
Veblen (Oswald), Professeur à l'Université de Prin- 
ceton, et Young (John Wesley), Professeur au Col- 
lège de Dartmouth. — Projective Geometry. Vol. I 
(in-8° de x-344 pages); vol. Il, par OswALD VEBLEN 
(in-8° de xu-512 pages), (Prix cart. : Q doll.) Ginn and 
Company, 15, Ashburton Place, Boston, 1916-1915. 
La Géométrie projective, dont l’origine remonte aux 
immortels travaux de Poncelet, est une science qui a 
subi depuis un siècle une évolution considérable. Son 
objet est toujours l’étude des propriétés des figures qui 
se conservent par projections ; mais, tandis qu'au début 
elle était une branche de la Géométrie d’Euclide, em- 
pruntant à celle-ci ses notions et ses méthodes de rai- 
sonnement, actuellement elle est une science autonome 
ayant ses méthodes propres, tirant d'elle-même une 
Géométrie analytique qui n’emprunte rien à la notion 
euclidienne de longueur. Par une curieuse interversion 
des points de vue, c’est maintenant la Géométrie eucli- 
dienne qui est un simple chapitre de la Géométrie 
projective, ainsi du reste que les Géométries non eucli- 
diennes, la Géométrie affine, la Géométrie de l’inver- | 
sion, etc., et d’une manière générale toutes les Géomé- 
tries dont le groupe fondamental est fini, s’il est vrai 
que tout groupe continu fini est isomorphe à un groupe 
projectif. Cette évolution, dont l’origine remonte à von 
Staudt, s'est du reste poursuivie de nos jours, où les 
recherches de Pasch et de D. Hilbert sur les fonde- 
ments de la Géométrie ont chassé jusque dans leurs 
derniers refuges les appels plus ou moins déguisés à 
une intuition souvent trompeuse et ont fait de la 
Géométrie une science purement abstraite, mais où le 
raisonnement déductif (celui qu'on disait autrefois 
caractériser la Géométrie pure) reprend un rôle pré- 
dominant. 
L'ouvrage de MM. Veblen et Young est un exposé di- 
dactique complet de l’état actuel de la Géométrie pro- 
jective. Le premier volume est consacré à la Géométrie 
projective générale, où l’on ne fait sur l’espace que les 
hypothèses strictement nécessaires pour que les notions 
fondamentales de la Géométrie projective y aient un 
sens. Ces hypothèses ou axiomes, d'où est banni tout 
appel à l'intuition ou à la continuité, postulent, les uns 
(axiomes d'alignement) des propriétés d'objets non 
définis appelés points et droites, d’autres (axiomes 
d'extension) l'existence de points et de droites en 
nombre suflisant pour fonder la Géométrie à trois di- 
mensions, un autre la non-collinéarité des trois points 
diagonaux d’un quadrangle complet, le dernier enfin 
(axiome de projectivité) la propriété de toute projectivité 
(définie comme résultante de perspectivités) de laisser 
invariants tous les points d’une droite dès qu'elle en 
laisse invariants trois distincts. L'étude des propriétés 
fondamentales des coniques (avec les théorèmes de Pas- 
cal, de Brianchon et de Desargues), des projectivités 
des formes à 1 et2 dimensions, des congruenceslinéaires 
et des complexes linéaires fait partie de cet exposé de 
la Géométrie projective générale, ainsi que l’introduc- 
tion, par une méthode purement synthétique analogue 
à celle de von Staudt, des coordonnées projectives ; 
mais naturellement aucune hypothèse n’est faite sur la 
nature du système de nombres auquel sont empruntées 
ces coordonnées, l’axiome de projectivité exigeant sim- 
plement que la multiplication soit commutative. La 
Géométrie projective d’un espace qui ne contiendrait 
qu'un nombre fini de points (et il en existe logique- 
ment de tels) rentre donc aussi bien que toute autre 
dans le cadre de ce premier volume. 
Le premier chapitre du second volume en forme le 
complément naturel; les auteurs montrent comment 
ET INDEX 
l'introduction de l'axiome de continuité rend inutile 
l'axiome de projectivité et ils achèvent l’énumération 
des axiomes qui définissent les principaux espaces pro- 
jectifs (modulaire, non modulaire, rationnel, réel, com- 
plexe, ordonné, etc.). 
Le second volume est consacré alors à l’étude des 
Géométries projectives particulières. À ce point de vue, 
les auteurs posent un double principe de classification 
suivant qu'on se propose d'étudier, d’une part tel espace 
particulier (réel, complexe, etc.), d'autre part dans cet 
espace les propriétés des figures qui se conservent par 
telle catégorie particulière de transformations projecti- 
ves formant un groupe. C’est ainsi que la Géométrie 
euclidienne ordinaire étudie dans l’espace réel les pro- 
priétés des figures qui se conservent par les transfor- 
mations projectives laissant invariant un certain plan 
(le plan de l'infini) et dans ce plan une certaine conique 
imaginaire (le cercle imaginaire à l'infini). Les auteurs 
étudient successivement, dans l’espace réel et l’espace 
complexe, la Géométrie affine, la Géométrie euclidienne, 
les Géométries non euclidiennes, la Géométrie de l’in- 
version. La formation dans chacune de ces Géométries 
des transformations du groupe fondamental au moyen 
de projectivités involutives est étudiée en détail. 
Les parties les plus intéressantes et les plus neuves 
de l’ouvrage sont celles qui ont rapport aux questions 
d'ordre et de sens, spécialement dans le plan projectif 
réel et l’espace projectif réel. Le lecteur s’initiera avec 
le plus grand intérêt, dans les deux chapitres (11 et 1x) 
consacrés à ces questions, à la propriété du plan pro- 
jectif (ou elliptique) réel de n’avoir qu’un côté, à la 
classification dans le plan projectif réel des polygones 
fermés suivant qu'ils partagent ou non le plan en deux 
régions distinctes, à la classification analogue des po- 
lyèdres dans l'espace, et d’une manière générale à toutes 
les questions d’Analysis situs qui ressortissent à la 
Géométrie projective. Les auteurs auraient sans doute 
pu abréger çà et là leur exposition en se servant des coor- 
données, mais ils ont sans doute préféré s’en tenir à une 
méthode plus purement synthétique. 
En résumé, cet ouvrage sera luavec un grand profit par 
tous ceux qui en France s'intéressent encore à ces théo- 
ries de Géométrie pure qui ont pris naissance dans 
notre payset y ont longtemps brillé d’un vif éclat. 
E. CARTAN, 
Professeur à la Sorbonne. 
2° Sciences physiques 
Rougier (Louis), Professeur agrégé de Philosophie. — 
La Matérialisation de l'Energie. Essai sur LA 
THÉORIE DE LA RELATIVITÉ ET SUR LA THÉORIE DES 
QuanTa. — 1 vol. in-16 de 148 p. (Prix: 5 fr. 25). Gau- 
thier- Villars et Cie, éditeurs, Paris, 1919. 
Dans l'Antiquité, où la Science n’était pas séparée de 
la Métaphysique, les philosophes — le mot l'indique — : 
cultivaient surtout les Sciences, et cela était encoré 
vrai à l’époque de Descartes, lequel n’est devenu philo- 
sophe que parce qu’il était physicien. 
Aujourd’hui, où l'étendue du savoir oblige à la spé- 
cialisation, les savants-philosophes sont de plus en 
plus rares. Pour ne parler que des morts, Henri Poin- 
caré, dont la pensée générale embrassait un si vaste 
horizon, a été une exception qui ne fait que confirmer 
la règle. Aussi, les philosophes modernes se sont-ils con- 
tentés de se mettre à la remorque des sciences physiques 
et naturelles, attendant, en général, que ces sciences 
soient suffisamment achevées pour être interprétées avec 
le recul nécessaire. On sait avec quelle maîtrise et quel 
profit pour leurs élèves MM. Boutroux et Bergson se sont 
acquittés de cette tâche dificile. 
