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G. TZITZÉICA.— LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE PROJECTIVE DES RÉSEAUX 349 
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LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE PROJECTIVE DES RÉSEAUX 
La Géométrie différentielle ou infinitésimale 
étudieles propriétés des figures géométriquesdans 
le voisinage d'un de leurs éléments. C’est ainsi 
que la taugente à une courbe plane est la droite 
qui joint un point à un point infiniment voisin, 
le cercle osculateur passe par trois points infini- 
ment voisins. De même, la demi-quadrique oscu- 
latrice à une surface réglée est définie par trois 
génératrices infiniment voisines de la surface. 
La Géométrie différentielle classique, telle 
qu’elle a été créée par Euler, Monge et ses élèves, 
Gauss, complétée par Darboux, Weingarten, 
Ribaucour, Bianchi, Guichard, etc., comprend, 
sans distinction, les propriétés métriques et les 
propriétés projectives. 
De temps en temps, il y a eu des géomètres, 
comme M. Kœnigs, qui ont étudié de préférence 
les propriétés des éléments infinitésimaux d’une 
figure, qui ne changent pas à la suite d’une trans- 
formation projective. 
On avait aussi considéré certaines méthodes 
analytiques pour la recherche de ces propriétés. 
C’est ainsi que Halphen avait introduit la notion 
féconde d'invariants différentiels projectifs pour 
l'étude des courbes planes et gauches. 
Cependant, c'est à M. Wilezynski que revient 
le mérite d’avoir créé une théorie projective, 
aussi complète que possible, des propriétés infi- 
nitésimales des courbes planes, des courbes gau- 
ches et des surfaces réglées. IL a employé-à cet 
effet certains invariants et covariants des équa- 
tions différentielles linéaires du troisième et du 
quatrième ordre et des systèmes d'équations du 
second ordre. [1 a appliqué aussi.une méthode 
analogue à l’étude des surfaces et des congruen- 
ces de droites de notre espace. 
Cette méthode a donné de beaux résultats. 
Toutefois les calculs, un peu longs et compli- 
qués, laissent au second plan les prepriété géo- 
métriques. Aussi, les études synthétiques de 
quelques géomètres italiens ont rendu à cette 
branche de la Géométrie différentielle un aspect 
plus intuitif, en y ajoutant de plus la considéra- 
tion des figures dans un espace projectif à plus 
de trois dimensions. 
A l’aide de ces méthodes, tant géométriques 
qu’analytiques, on pouvait entreprendre l'étude 
systématique des parties les plus intéressantes 
de la Géométrie différentielle projective. Une de 
ces théories, dont l’origine analytique remonte 
jusqu’à Laplace, dont la notion géométrique est 
due à Dupin, et les développements ultérieurs à 
Darboux et à tant d’autres géomètres, /a théorie 
des réseaux, relie entre elles la plupart des pro- 
priétés remarquables, projectives ou métriques, 
des surfaces et des congruences de droites. 
Aussi je me suis engagé, presque en même 
temps qu’un jeune et distingué géomètre italien, 
M. D. Bompiani, à la recherche des propriétés 
générales des réseaux dans un espace à un nom- 
bre quelconque de dimensions et de leurs appli- 
cations aux propriétés infinitésimales de notre 
espace!. | 
Je crois qu’il ne sera pas sans intérêt pour les 
lecteurs de cette Revue, de connaître les lignes 
générales d’une branche remarquable de la Géo- 
métrie différentielle projective. 
I. — Réseaux 
1. Dupin a dû arriver à la notion de tangentes 
conjuguées pour une surface quelconque, en 
commençant tout d’abord par les surfaces du 
second ordre, car au voisinage d’un point ordi- 
naire on peut toujours remplacer une surface 
arbitraire par une quadrique. 
Considérons une droite D et sa polaire réci- 
proque D’, par rapport à une quadrique Q. Si D 
devient tangente en M à OQ, D'l’est aussi, et on 
a deux tangentes conjuguées de Ja surface. 
Si l’on considère les tangentes à une courbe C 
tracée sur la quadrique Q, les tangentes conju- 
guées forment une surface développable T, la 
polaire réciproque de la courbe C par rapport 
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Nous dirons que deux familles de courbes, tra- 
cées sur la quadrique ©, forment un réseau, si 
par chaque point M dela surface{ou d’une région 
de celle-ci), il passe une courbe de chaque 
famille et si les tangentes en M aux deux cour- 
bes qui y passent sont conjuguées. 
Il en résulte que les tangentes aux courbes 
d’une des familles d’un réseau de Q, aux points 
où ces courbes rencontrent une courbe quelcon- 
que de l’autre famille, forment une surface déve- 
loppable, c'est-à-dire qu’elles sont tangentes à 
une même courbe de l’espace ou passent par un 
point fixe. 
2. On peut prendre la dernière propriété des 
réseaux d’une quadrique comme définition des 
réseaux tracés sur une surface quelconque de : 
SR ——— 
1. J'ai réuni cette théorie générale des réseaux et ses appli- 
cations dans un volume, que j'ai en manuscrit et que j'es- 
père publier bientôt. 
