350 G. TZITZÉICA. — LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE PROJECTIVE DES RÉSEAUX 

notre espace etil est manifeste que cette défini- 
tion a le caractère projectif. 
La même propriété sert à définir les réseaux 
dans un espace projectif à plusieurs dimen- 
sions. 
3. En traduisant analytiquement cette défini- 
tion, on arrive au résultat suivant, trouvé tout 
d’abord par Darboux pour les réseaux de notre 
espace, généralisé ensuite par M. Guichard et 
par M. Segre pour un espace à plusieurs dimen- 
sions : 
Siles courbes 4 — const. et p — const. d’un 
espace à 7-1 dimensions forment un réseau, les 
n coordonnées projectives du point x qui décrit 
le réseau satisfont à une équation de Laplace : 
(1) Our + a, + BO, + c@ — 0, 
où a, b, ce sont des fonctions connues de wet v, 
© la fonction inconnue et @,, 6, et O,, ses déri-- 
vées partielles, indiquées clairement par les 
indices. 
Réciproquement, 7 solutions linéairement 
indépendantes d’une équation de la forme (1) 
déterminent un réseau dans un espace projectif 
à n-1 dimensions. 
*Comme toute combinaison linéaire, homogène 
et à coefficients constants des 7 coordonnées est 
aussi une solution de (1), il résulte qu’une trans- 
formation projective appliquée à un réseau 
donne un nouveau réseau. Les réseaux sont par 
conséquent des figures à caractère projectif. 
4. On voit déjà la liaison étroite qui existe 
entre un réseau et l’équation de Laplace corres- 
pondante. Cependant, sans entrer dans trop de 
détails, je dois remarquer que, si le réseau est 
donné analytiquement, l’équation de Laplace (1) 
est déterminée. La réciproque n’est pas vraie : 
l'équation (1) ne détermine pas les z coordon- 
nées du point x. Nous verrons plus loin qu'il faut 
un système d'équations aux dérivées partielles 
pour définir le réseau, à une transformation pro- 
jective pres. 
5. D'autre part, on peutmultiplier les coordon- 
nées projectives du point x, qui décrit le réseau, 
sans que ce point change. De même, on peut 
remplacer la variable w par une autre, la variable 
9 aussi, sans que le réseau subisse un change- 
ment géométrique. Alors l’équation (1)est trans- 
formée dans une autre de la même forme. Dans 
tous ces changements, les fonctions 
h = au + ab —0c, k = b, + ab —c, 
que Darboux a appelées des invariants de (1j et 
qu'avait rencontrées Laplace dans ses recher- 
ches sur les cas intégrables de (1), jouent un rôle 
important. 
En particulier, lorsque les äinvariants sont 
égaux, on peut, par l'une des transformations 
précédentes, réduire l’équation de Laplace (1) à 
la forme “mple 
(2) 0% = AO. 
On dira dans ce cas que le réseau est à inva- 
riants égaux. 
6. Pour simplifier le langage, nous désignons 
dans la suite par (x) le réseau décrit par le 
point x. 5 
Considérons maintenant les deux tangentes 
æx, et xx_1 en æ aux courbes du réseau u — 
const.,  — const. qui se croisent en ce point. 
La tangente xx,, par exemple, varie lorsque 
u et # varient et engendre une configuration 
‘réglée remarquable qui jouit des propriétés 
suivantes : 
Lorsqueu — const., le point x varie le long 
d’une courbe fixe du réseau (x), et xx,, restant 
continuellement tangente à cette courbe, dé- 
crit une surface développable; lorsque # — 
const., x décrit une courbe de l'autre famille, et 
xx,, d'après la définition du réseau, engendre 
encore une surface développable, c’est-à-dire 
qu’un de ses points autre que x, soit x,, décrit 
une courbe tangente en x, à xx, ou bien reste 
fixe. 
La configuration réglée engendrée par zx, et 
que nous noterons par (xx,) peut donc être 
décomposée de deux manières différentes en sur- 
faces développables. Nous dirons que c’est une 
congruence de l’espace à 7-1 dimensions. 
Il est aisé de voir que le point x, décrit en gé- 
néral, toutcomme x, un réseau (x,). On a ainsi 
les réseaux focaux (x)et(x,) de la congruence 
(xx,). On appellera les points x et x, les foyers du 
rayon 2, de la congruence. 
On dit aussi que le point x, est le transformé de 
Laplace de æ dans le sens ‘de la courbe p. Si 
hk—0, le point x, décrit une courbe et l’équation 
(1) est intégrable. 
On a des résultats tout pareils aux précédents 
pour la tangente æx_,. On a ainsi une autre 
congruence (xx —,) dont les réseaux focaux sont 
décrits par les points x et x_,, celui-ci étant le 
transformé de Laplace de + dans le sens de la 
courbe 4. 
En résumé, les tangentes du réseau engendrent 
deux congruences dont les développables corres- 
pondent aux courbes du réseau. 
7. On peut établir entre les congruences et les 
réseaux des relations géométriques que l’on peut 
étudier d’une manière régulière et que M. Gui- 
chard a considérées pour la première fois, sur- 
tout au point de vue métrique. 
Dansle cas particulier où l’on a une congruence 
