G, TZITZÉICA. — LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE PROJECTIVE DES RÉSEAUX 3541 

(yz) dont le rayon générateur yz passe par le 
point x d’un réseau (x) et si les développables de 
la congruence correspondent aux courbes du ré- 
seau, on dira que la congruence et le réseau sont 
conjugues. 
8. Etant donnée la congruence (yz),dont (y) et 
(z) sont les réseaux focaux et (x) un réseau con- 
jugué, supposons que le conjugué harmonique 
æ' de x par rapport à yz décrive aussi un réseau 
(x’); alors les deux réseaux (x) et (x!) sont à inva- 
riants égaux. Ce beau théorème est dû à M. Kæ- 
nigs. La réciproque est vraie. On peut déduire 
ainsi de tout réseau (x) à invariants égaux, à 
l’aide d’une congruence conjuguée(7z), un autre 
réseau à invariants égaux. à 
Cette transformation des réseaux à invariants 
égaux a été donnée pour la première fois, sous 
forme analytique, comme une transformation 
des équations de la forme (2), par Moutard. 
D'ailleurs M. Kænigs a trouvé une autre pro- 
priété caractéristique des réseaux à invariants 
égaux. On peut montrer que dans le plan 2-,xx, 
il existe une conique tangente en æ_1 et x, à ax_1 
et à xw, et ayant là avec les courbes v — const. 
etu — const., respectivement décrites par ces 
points, des contacts du second ordre, 
Les coniques de Kœnigs qui correspondentaux 
réseaux à invariants égaux (r)et{x'), obtenus 
plus haut, ont deux points communs et jouissent 
de propriétés géométriques qui ne manquent 
pas d'intérêt. 
9. Lorsque les coordonnées du point +, qui 
décrit un réseau (x), satisfont à une relation 
homogène et du second degré, nous dirons que 
le réseau est quadratique. Le réseau (x) est alors 
tracé sur l’espace quadratique à 2-2 dimensions 
Qh-+ représenté par la relation quadratique 
donnée. 
On a pour ces réseaux une transformation 
fondamentale, donnée pour notre espace par 
Ribaucour et pour un espace projectif arbitraire 
par M. Drach, à savoir : 
Si (yz) est une congruence conjuguée à un 
réseau quadratique (x) et que +’ est le point où 
le rayon yz coupe de nouveau l’espace quadrati- 
que Q»->, le point +’ décrit aussi un réseau, 
manifestement quadratique. 
On dira que le réseau (x') est le transformé de 
Ribaucour de (x). 
Lorsque le réseau quadratique (x) est à inva- 
riants égaux, il y a, parmi ses transformés de 
Ribaucour, des réseaux à invariants égaux. 
Cette transformation spéciale des réseaux qua- 
dratiques à invariants égaux a été trouvée, dans 
un cas particulier, sous forme métrique, par 
Darboux. En relation étroite avec cette transfor- 

mation il y en a une autre, qui est la généralisa- 
tion d’une transformation due à M. Bianchi. 
IT. — Surres DE LAPLACE 
L] 
10. Nous avons vu, au n°6, qu’en partant d’un 
réseau (+) on en déduit géométriquement, par 
la transformation de Laplace, deux autres réseaux 
(aleutre)E 
I est clair qu’un des transformés de Laplace 
de (x,) est (x) et que par conséquent il en a un 
second (x,). De celui-ci on en déduit (x,) et ainsi 
de suite. 
De la même manière de{x_,) on obtient(x_ ,), 
ensuite (æ_.), etc. 
En partant d’un réseau, on obtient ainsi, par 
l'application successive de la transformation de 
Laplace, une succession de réseaux, qui se pro- 
longe dans un sens et dans l’autre et que nous 
appellerons une suîte de Laplace, Pour plus de 
simplicité, nous noterons par [x] la suite de 
Laplace déduite du réseau (x). 
Une suite de Laplace est une configuration 
géométrique des plus remarquables, qui forme 
un tout et qui peut être définie à partir d'un quel- 
conque de ses réseaux. Chacune des droites 
TT, TT o TT 33e. OU TT TE L— nl D'ÉPEU EU EEE TEE 
engendre une congruence de la suite. 
Ce qu’il y a d’intéressant c'est que, si leréseau 
initial (x\ appartient à un espace à 7 — 1 dimen- 
sions, il en est de même de toute la suite. Il en 
résulte alors que entre 21 points successifs, 
T, Ty, Las...) Ln Par exemple, il y a une relation 
linéaire : 
Un + any ny +... et, ar —0. 
C’est au fond une équation aux dérivées partiel- 
les, qui, ajoutée à l'équation de Laplace (1), définit 
le réseau (x) et par conséquent la suite[x], àune 
transformation projective près. 
11. Si l’on considère un réseau (y) conjugué à 
la congruence (xr,) de la suite[x], la suite de 
Laplace [7] déduite du réseau (y) a une relation 
géométrique très simple aveclasuite[x], à savoir: 
le point y, est situé sur la droite z,x,, y, sur 
TZ, etc.; le point VENTES SIIUE SUR LT), 7e 
sur æ_,æx-, etainsi de suite. 
Nous dirons que la suite [y]est inscrite dans 
[x], laquelle à son tour est circonscrite à[y]. 
On a des méthodes régulières pour obtenirles 
suites de Laplace inscrites ou circonscrites à une 
suite donnée. 
Il y a .encore d’autres moyens géométriques 
pour déduire d’une suite de Laplace donnée 
d’autres suites. 
12. Une suite de Laplace peut se prolonger, en 
