
352 G. TZITZÉICA. — LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE PROJECTIVE DES RÉSEAUX 

général, indéfiniment dans un sens et dans l’au- 
tre. Elle ne s'arrête que si un des réseaux de la 
suite se réduit à une courbe, car alors la trans- 
formation cesse de s'appliquer. 
Supposons que le point x, décrit une courbe. 
Il y a deux cas à considérer : la droitex,_ , x est 
tangente en *, à cette courbe et alors le dernier 
réseau (2, ,) esttracé sur une surface dévelop- 
pable, ou bien la courbe décrite par x, n’est pas 
tangente à æ—,æ1. Le premier cas est appelé le 
cas de Goursat, le second le cas de Laplace. Il y 
a un cas intermédiaire qui fait partie des deux, 
lorsque le point x, est fixe. 
Le problème des suitesqui s’arrêtent d’un côté 
et surtout de celles qui s'arrêtent des deux côtés 
est très intéressant. Analytiquement, il a été 
abordé pour la premièrefois par Moutard, étudié 
à fond par Darboux, complété par M. Goursat et 
repris géométriquement par M. Bompiani. 
Siun des réseaux (x) de la suiteestàinvariants 
égaux, la suite ne peut se terminer dans un sens 
sans se terminer dans l’autre. 
Jai étudié tous ces problèmes, avec tous leurs 
cas particuliers, en utilisant les méthodes de 
Darboux, auxquelles j'ai donné une forme géo- 
métrique. 
12. Il y a un autre problème sur les suites de 
Laplace qui me semble mériter une attention 
spéciale. 
Il est naturel de chercher s'il y a des suites de 
Laplace telles qu'en les prolongeant suflisam- 
ment dans un sens, on retrouve le réseau initial. 
La relation (3) doit se réduire dans ce cas à 
Taux —0. 
Darboux a fait la recherche analytique des cas 
où »—1etn — 2. J'ai étudiéle cas général, en 
cherchant surtout les transformations de ces 
suites en des suites de même nature. Si un des 
réseaux de la suite est à invariants égaux, les 
résultats sont particulièrement intéressants et 
pour 7 —3 et 7 — 6 conduisent à des classes nou- 
velles de surfaces de notre espace. 
13. J'ajoute encore, pour finir avec la théorie 
générale des réseaux, que j'ai aussi abordé une 
question essentielle pour ce chapitre de la Géo- 
métrie différentielle projective, à savoir celle des 
suites qui restent invariables à la suite d’une 
transformation projective. J'ai appelé ces suites 
des suites autoprojectives. Pour qu'il en soit 
ainsi, il faut et il suflit que deux réseaux de la 
suite soient projectifs l’un de l’autre. Ily a un 
cas simple, celui où les deux réseaux sont con- 
sécutifs, qui est aisé à étudier. Le cas général 
est bien plus délicat. 
IIL. — APPLICATIONS 
14. Pour ne pas étendre davantage cet article, 
je dirai très peu de choses sur les applications 
des réseaux. 
Toutes les fois que l’on rencontrera des solu- 
tions d’une équation de Laplace (1}, on pourra 
employer avec succès l’image géométrique des 
réseaux. | 
Spécialement, on peut faire l’étude des sur- 
faces de notre espace rapportées à leurs lignes de 
courbure ou à leurs lignes asymptotiques, en 
utilisant certaines images avec des réseaux d’un 
espace à plusieurs dimensions. 
Pour une surface rapportée à ses lignes de 
courbure, on obtient, à l’aide des coordonnées 
penta-sphériques, un réseau quadratique. On 
peut appliquer alors la transformation de Ribau- 
cour et obtenir ainsi une transformation de notre 
espace avec conservation des lignes de cour- 
bure. 
Pour une surface rapportée à seslignes asymp- 
totiques, on a comme image une congruence 
dont toutes les droites appartiennent à un même . 
espace quadratique. Une transformation de 
Ribaucour conduit à une transformation avec 
conservation des lignes asymptotiques, spéciale- 
ment à la considération des congruences W, qui 
jouent un rôle considérable dans la Géométrie 
différentielle moderne. ; É 
J'ai donné encore d’autres exemples que l’on 
peut résoudre à l’aide des principes simples 
et généraux de la théorie des réseaux. C’est là 
l'importance de ce chapitre de la Géométrie diffé- 
réntielle et.c’est ce qui m'a fait écrire cet article. 
G. Tzitzéica, 
Doyen de la Faculté des Sciences 
de Bucarest. 

