BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 
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l'Accord, envisagé sous deux aspects, l'aspect majeur et 
L'aspect mineur, le premier étant considéré du grave à 
l'aigu, le second de l’aigu au grave. 
Mlle J. Marmier indique (p. 66) la construction des 
deux gammes correspondantes par la méthode de 
Rameau : 
mode mineur 
mode majeur 
ut-mi-sol mi-ut-ln 
fa-la-ut sol-si-ré si-sol-mi li-fa-ré 
Le mode mineur ainsi obtenu est un des modes dia- 
toniques antiques; la musique moderne y ajoute des 
notes altérées, s0/2, fa£, dont l'introduction est éludiée 
dans le chapitre suivant, C'est l'échelle 
la si do ré mi fa sol£ la 
qui constitue l'échelle dite du mineur instrumental, 
L'échelle 
lu si do ré mi fa faf solf la À 
est appelée échelle du mineur moderne : l'auteur y voit 
les sous-harmoniques de 7n1.: 
SOI ARIENTZ 
mi do si la 
132440 1516 
ré sol£ fa£ faï mi 
Puis vient le « majeur mineur de Hauptmann », dont 
la gamme est : à 
do ré mi fa sol lah si do. 
Comme elle s'emploie fréquemment avec le sé tantôt 
naiurel tantôt bémol, l'auteur complète cette gamme 
par adjonction de si} et voit dans la nouvelle gamme 
la série des harmoniques 
SATA AL 16 
do ré mi fa do 
correspondant à la gamme descendante des sous-harmo- 
niques 
12 13 
sol 
14 15 
lab sib six 


mi ré do si la sol2 fa fas mi. 
Et ainsi toules Jes notes employées en musique sont 
rattachées à la série des harmoniques el à celle des 
sous-harmoniques. 
« Ce système, dit l'auteur, d'après M. Lavignac, n’a 
pas été organisé par des mathématiciens ni d'après 
leurs caleuls; il a été créé empiriquement par les musi- 
ciens, sans autre guide que leur instinct, qui les portait 
à choisir les sons dont les rapports leur paraissent 
agréables; mais la théorie acoustique vient expliquer 
de quelle façon leur sens artistique a élé guidé à leur 
insu, et prouve que le résultat de leurs essais, de leurs 
tâtonnements séculaires, constitue un système normal, 
admirablement d'accord avec la logique la plus rigou- 
reuse. » 
De nombreux exemples de pièces musicales, emprun- 
tées à toutes les époques, y compris l’antiquilé grecque, 
illustrent d'un bout à l’autre les considérations théori- 
ques développées. 
C’est une louable préoccupation que celle de recher- 
cher ce qu'il y a de scientifique, c'est-à-dire d'objectif, 
d'immuable dans le matériel sonore employé par l’art 
musical. Et s’il est vrai que toutes les notes d’un ton 
appartiennent aux harmoniques d’une seule note, on a 
là une réponse nette à la question qui se pose naturelle- 
ment à l'esprit : comment se fait-il que la musique 
n'emploie pas des sons dont la fréquence puisse varier 
d'une manière continue ? quelle raison le musicien a-t-il 
pour choisir certaines valeurs de la fréquence et exclure 
toute autre? 
Mais cette proposition est-elle bien établie ? 
Dès le début, l'auteur donne des noms de notes musi- 
cales aux harmoniques 7, 11, 13, sans se préoccuper du 
degré d’approximation qu'elle emploie. Si la pratique 
ne peut exister que par l’approximation, lathéorie exige 
l'exactitude, Or on peut bien dire, si l’on veut, que le 
si b est le 7° harmonique d'ut par définition, mais ce sip 
n’est pas la seconde quinte descendante à partir d'u. 
De même si l’on appelle fa £ le 11° harmonique, ce fa 1 
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n'esl pas à la tierce majeure de ré, et si l'on appelle 
la b le 13e harmonique, ce lab n’est ni la quatrième 
quinte descendante à partir dut, ni d'un demi-ton au- 
dessous de la tierce de fa. Caleulons les écarts, et à ce 
propos il est bien à souhaiter que les musiciens adop= 
tent, pour mesurer numériquement les intervalles musi= 
caux, l'évaluation en savarts, qui a été introduite dans 
la science par A. Guillemin (€. À. Acad. des Sc. 
28 avril 1902, p. g8o)etexpliquée par H. Bouasse (Zases 
physiques de la Musique, p. 11), et qui satisfait parfai- 
tement l'instinct musical, parce qu’elle considère les 
intervalles comme additifs. 
Le 5° harmonique est à 243 savarts (2437) du son fon- 
damental (log 9 — 2 log 2). Si l’on appelle ut le son 
fondamental, et que l’on caleule l'intervalle ut — sien 
prenant pour si} la quarte de /u, on trouve 1257 + 1257 
— 2507, Par conséquent le 72 harmonique est de 7° au- 
dessous de sih quarte de fa, et comme un demi-ton tem- 
péré est de 257, l'intervalle est d’un peu plus de 1/8 de 
ton tempéré. Peut-on le négliger dans une théorie où 
l'on envisage les intervalles employés dans le genre en- 
harmonique des Grecs, intervalles qui se mesuraient en 
huitièmes de ton? 
Le 11° harmonique.est à 1387 du son fondamental 
(log 11 — 8 log 2); or le faf tierce de ré est à 1587 d'ut 
et le fa à 1257. Le 11° harmonique est donc à 237 au-- 
dessus de ce fa et à 20° au-dessous de ce fa £. 
On verrait de même que le 13° harmonique d’ut est 
de 117 au-dessous du la de la gamme de Zarlino, et de 
187 au-dessus de La |; or l’auteur en fait le /a},. Quand 
on fait de telles approximations, de quel droit peut-on 
soutenir que le système obtenu est « admirablement 
d'accord avec la logique la plus rigoureuse » ? D'ailleurs, 
sans aueun caleul numérique, il est facile de voir que 
les harmoniques 7, 11, 18, 14 ne sont pas des noles mu- 
sicales, puisque, les ayant sous la main dans le cor 
d'harmonie, les musiciens ne s’en servent pas sans les 
corriger, soit par une modification du souflle, soit par 
l'introduction de la main dans le pavillon. 
Un second point à critiquer, c'est l'emploi des sous- 
harmoniques de H. Riemann pour la génération du 
mode mineur. lei le rôle du critique est délicat, parce 
que l’auteur s'abrite derrière le nom vénéré de Vincent 
d'Indy. Cependant l'admiration pour le compositeur 
n'entraine pas nécessairement l'adhésion aveugle aux 
conceptions du théoricien, surtout quand il s’agit, non 
de la théorie de la composition, mais de celle de la géné- 
ration des notes et des accords. 
Les sous-harmoniques ont le défaut capital de ne pas 
exister. Il existe pourtant bien des harmoniques infé- 
rieurs, signalés pour la première fois par Savart, et 
étudiés expérimentalement par MM. Gabriel Sizes et 
Massol!. Mais ces harmoniques inférieurs n’ont pas les 
fréquences 1/2,1/3, 1/4, 1/5... L'oreille les entend en par- 
tie dans le son des cloches, des gongs,ele..…., mais ils ne 
sont pas perceptibles à l'audition simple dans le son 
des véritables instruments de musique (cordes, tuyaux). 
Yest en enregistrant sur un cylindre tournant les 
vibrations du corps sonore et étudiant les courbes in- 
scrites, qu'on les détermine. Ils admettent un son'fonda- 
mental qui non seulement ne s'entend pas, mais ne 
s'inscrit pas non plus : ce son fondamental se calcule, 
et cela de façon à ce que les fréquences des vibrations 
enregistrées soient des multiples de sa fréquence; le 
son musical qui s’entend comme son principal est l’un 
des harmoniques de ce son fondamental, et les harmo- 
niques inférieurs, au lieu d’être entre eux à des inter- 
valles de plus en plus petits à mesure qu'ils s'éloignent 
du son principal, sont au contraire à des intervalles de 
plus en plus grands, - 
Quand un corps sonore est mis en vibration, il pro- 


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1. C. R. Acad. des Sc., 18 novembre 1907, p. 873, et nom- 
breuses notes ultérieures. 
