BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



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BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques. 



Poiucaré (H.), de l'Académie des Sciences, Professera 

 de Physique mathématique à la Faculté des Sciences 

 de Paris. — Les Méthodes nouvelles de la Méca- 

 nique céleste. Tome II : Méthodes de MM. Newpomb, 

 Gyldèn, Lindstedt et Bohlin. — 1 vol. gr. m-8° de 

 MO pages (Prix : 14 fr.). Gauthier-Villars et /Us, édi- 

 teurs. Paris. 1895. 



Le second volume des Méthodes nouvelles de la Mé- 

 canique céleste s'ouvre par des considérations d'un 

 haut intérêt sur la représentation approchée des 

 fonctions au moyen des développements asymptotiques 

 ou semi-convergents. Les termes de ces séries con- 

 tiennent en facteur les puissances successives d'une 

 petite quantité <j., décroissent d'abord d'une façon 

 rapide puis se mettent à croître au delà de toute 

 limite, à partir d'un rang plus ou moins éloigné. Leur 

 divergence les rend impropres à définir des fonctions : 

 mais elles peuvent néanmoins avoir de l'utilité 

 pour en déterminer les valeurs numériques, du mo- 

 ment où l'on s'en tient à un degré d'approximation 

 limité, il est vrai, mais parfois très considérable. 



Celte propriété semble fréquemment paradoxale, 

 même à des personnes possédant des connaissances 

 mathématiques étendues. 11 est pourtant bien aisé 

 d'en saisir l'esprit. 



Lorsque l'on développe une fonclion en série. 

 d'après une loi donnée, d'ailleurs quelconque, il faut 

 constamment ajouter aux termes écrits un terme 

 complémentaire ou reste pour reproduire identique- 

 ment la fonction. S'il arrive, dans un calcul numérique, 

 qu'à un certain moment ce reste est inférieur à la 

 limite de l'erreur que l'on ne veut pas dépasser, les 

 termes écrits représentent pratiquement la fonction. 

 Il importe peu, au point de vue numérique, que 

 la loi du développement, appliquée au reste, con- 

 duise à une série convergente ou à une série diver- 

 gente. 



Telle est la circonstance grâce à laquelle les déve- 

 loppements asymptoliques peuvent, dans bien des 

 ras, être employés avec succès dans les recherches 

 numériques. L'exemple classique de la série de Stir- 

 ling, dont Cauchy a découvert les propriétés, met cette 

 particularité en pleine lumière. Malgré sa divergence, 

 cette suite fournit les valeurs de la fonction Eulé- 

 rienne de seconde espèce, avec un degré d'approxi- 

 mation qui dépasse les besoins des applications. 



Le terme complémentaire, dont il a été question 

 ci-dessus, est, en général d'une forme beaucoup trop 

 complexe pour que la discussion en soit abordable. 

 Mais, dans les développements asymptotiques, le 

 quotient obtenu en divisant, le terme "complémentaire 

 par la puissance du paramètres qui rentre en facteur 

 dans le dernier terme écrit, ce quotient, dis-je, tend 

 vers zéro en même temps que ' v .. Si n, au lieu d'être 

 nul, est assez petit, le reste est aussi une petite quan- 

 tité, par rapport au dernier terme écrit, comme étant 

 d'un ordre supérieur relativement à y. . Il devient 

 alors théoriquement possible de discerner le moment 

 opportun où le développement doit être arrêté, pour 

 obtenir le degré d'approximation voulu, sans que la 

 connaissance du reste soit indispensable. 



Le chapitre vm, en tête du volume, contient un 

 théorème d'une importance capitale sur l'intégration 

 des équations différentielles dont les seconds membres 

 sont développables suivant les puissances successives 

 d'un paramètre très petit |x. M. Poincaré établit la 

 possibilité d'intégrer ces équations, par approximation. 



au moyen de développements semi-convergents, 

 ordonnés suivant les puissance de y.. 



Cette proposition intéresse directement les astro- 

 nomes. Elle démontre que les procédés d'approxima- 

 tions successives, qu'ils emploient journellement, les 

 conduisent à des développements divergents ou, plus 

 exactement, semi-convergents. Elle justifie leur habi- 

 tude d'arrêter les calculs au moment où les termes 

 des séries deviennent inférieurs à la limite de l'erreur 

 qu'ils ne veulent pas dépasser, le paramètre ij. ayant. 

 dans les applications, une très faible valeur. 



Dans les chapitre ix et xi, M. Poincaré expose, en 

 suivant une analyse qui lui est propre et avec dé- 

 portants perfectionnements, la méthode de M. Linds- 

 tedt qui permet d'obtenir l'expression des coordonnées 

 des planètes, sous forme de séries purement trigono- 

 métriques. 11 étend ces théories aux équations de la 

 dynamique et au cas général du problème des trois 

 i-iii [i^. 



Les séries obtenuesantérieurement par M. Newcomb, 

 eu prenant pour point de départ la méthode de la 

 variation des constantes arbitraires, sont également 

 exemptes de termes séculaires. Ces séries et celles de 

 M. Lindstedt ne présentent pas de différences. M. Poin- 

 caré réussit à établir leur identité. 



Les principes développés au chapitre ix sont 

 appliqués, dans le suivant, à l'étude des variations 

 séculaires des éléments des orbites planétaires. Les 

 équations définissant ces variations sont satisfaites 

 par des séries purement trigonométriques. M. Poin- 

 caré démontre ainsi que les termes séculaires qui 

 surgissent, par exemple, dans l'application de la mé- 

 thode de Lagrange, sont introduits par les procédés 

 de calcul et n'existent pas réellement. Malheureuse- 

 ment ce beau résultat n'avance en rien la question de 

 la stabilité du système solaire. Le défaut de conver- 

 gence uniforme des séries oppose une barrière infran- 

 chissable aux conclusions que l'on pourrait être tenté 

 de tirer à cet égard. 



L'application de la méthode de M. Lindstedt au pro- 

 blème des trois corps rencontre des difficultés dans 

 l'hypothèse des petites excentricités. Ces excentricités 

 pénètrent au carré dans les dénominateurs, au cours 

 des opérations, et donnent lieu à des termes considé- 

 rables, destinés à s'entre-détruire et gênants de toute 

 façon, dans la suite des approximations. 



L'inconvénient peut être évité. M. Poincaré en 

 triomphe (chap. xu) en utilisant ses beaux travaux sur 

 les solutions périodiques du problème des trois 

 corps. 



Au chapitre xiu on retrouve les séries de M. Linds- 

 tedt dont la divergence est établie. Ces suites n'en 

 sont pas moins utilisables dans les applications, car 

 elles sont semi-convergentes. Elles représentent les 

 coordonnées avec une très grande approximation, si 

 l'on n'a pas à considérer de petits diviseurs. Incidem- 

 ment, M. Poincaré est amené à démontrer le théorème 

 de Lagrange sur l'invariabilité des grands axes, que 

 Poisson et, après lui, M. Tisserand ont. étendu en 

 tenant compte du carré des masses perturbatrices. 



M. Poincaré ne s'astreint nullement, dans son expo- 

 tion, à suivre pas à pas les auteurs dans leurs décou- 

 vertes, lise propose le but bien plus philosophique de 

 mettre les méthodes en regard les unes des autres pour 

 en faire valoir les qualités et les défauts, et pour en 

 comparer le mécanisme. C'est également ce que le 

 lecteur constatera plus loin, lorsqu'il sera question 

 des méthodes de M. Çylden, de Delaunay et de 

 M. Bohlin, qui ont été jusqu'ici présentées surtout en 



