BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



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BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques. 



\|.i»- il (Paul), Membre de VInstilut, Professeur à la 

 Faculté des Sciences de Paris, et Goursat (Edouard), 

 Maître de Conférences à l'Ecole Normale supérieure. — 

 Théorie des Fonctions algébriques et de leurs 

 intégrales (Fonctions analytiques sur une sur- 

 face de Riemann I. — I vol. gr. in-S" de 530 pages 

 avec 91 figures (Prix: 16 francs.) Gauthier-Villars et 

 fils éditeurs. Paris, 1895. 



Les fondateurs de la Théorie des Fonctions et les ana- 

 lystes qui les suivirent n'eurent longtemps égard 

 qu'aux valeurs actuelles prises par les variables; on 

 ne soupçonna pas d'abord que la manière dont ces 

 valeurs étaient acquises eût un rôle quelconque à 

 jouer. L'introduction, de jour en jour plus accentuée, des 

 imaginaires dans l'Analyse et notamment dans le Calcul 

 intégral, devait amener Cauchy à reconnaître l'impor- 

 tance de ce rôle. L'idée qui se manifesta à lui à l'occa- 

 sion des intégrales définies prises entre des limites ima- 

 ginaires, avait une portée immense, comme le prouvè- 

 rent peu après les travaux de Puiseux sur les fonctions 

 algébriques, et comme le témoignent actuellement les 

 découvertes relatives aux équations différentielles. 



En transportant l'idée de Cauchy des intégrales défi- 

 nies aux fonctions algébriques, Puiseux découvrit l'im- 

 portance essentielle des points critiques. Sous le nom 

 de lacets, il introduisit certains chemins spéciaux dé- 

 crits autour de ces points et fonda sur eux la Théorie 

 des Fonctions algébriques. Quelques géomètres s'en 

 sont tenus à ce moyen d'étude, dont les ouvrages de 

 iîriot et Houquet contiennent le développement. 



Cependant, en 1857, Riemann avait formulé des idées 

 fondamentales, marquées de ce cachet d'originalité qui 

 caractérise toutes les œuvres du grand géomètre. 



C'étaient d'abord ses plans et ses spbères à feuillets 

 multiples, réunis par des coupures établies entre les 

 points critiques; puis la notion de connexion, celle du 

 genre. La théorie des fonctions algébriques et de leurs 

 intégrales, au sujet desquelles on possédait déjà le mé- 

 morable théorème d'Abel et tant de beaux résultats dus 

 à Jacobi, Rosenhaim et autres, se trouva tout d'un coup 

 portée à un très haut degré de perfection. Les décou- 

 vertes ultérieures touchant les transformations bi-ra- 

 tionnelles vinrent encore jeter un nouveau jour sur la 

 question ; elles confirmèrent la justesse des vues de 

 liiemann et montrèrent combien profondes étaient les 

 notions delà connexion et du genre, puisque ces trans- 

 formations les laissent inaltérées. 



Enfin, des découvertes géométriques de premier 

 ordre ont été le fruit de l'application de ces principes 

 aux questions les plus compliquées de la théorie des 

 courbes et des surfaces et nous assistons chaque jour 

 au développement de ces applications. C'était donc une 

 œuvre digne de tenter l'ardeur laborieuse de deux 

 savants géomètres, que de réunir en un même cadre 

 les principes essentiels et les applications les plus 

 importantes des fonctions algébriques et de leurs inté- 

 grales. Œuvre difficile aussi, car, là où l'intuifion si 

 sûre de Riemann avait trouvé le but sans hésiter, le 

 lecteur a besoin d'un guide pour le conduire au tra- 

 vers des nuages que savait percer l'œil du maître; il a 

 besoin qu'on lui montre du doigt et en détail des pour- 

 quoi de choses qu'il suffisait à Riemann de deviner. 

 Cette explication précise et détaillée, surtout pour 

 ce qui concerne la connexion, est une des difficultés de 

 la théorie; elle a été une source de doutes pour d'ex- 

 cellents esprits, qui en sont parfois arrivés à rejeter 

 avec elle l'œuvre entière de Riemann. 



L'exposition de MM. Appell et Goursat ne saurait 

 laisser subsister de tels doutes. Ils ont pris la précau- 

 tion d'exposer en premier lieu le cas hyperelliptique 

 et les surfaces de Riemann à deux feuillets. Ce cas 

 se prête à des explications et à des descriptions pré- 

 cises et un peu minutieuses, mais dont il faut gran- 

 dement se louer pour la clarté et la certitude qu'elles 

 apportent à la question. L'esprit, ainsi ouvert et pré- 

 paré, s'assimile ensuite bien mieux le cas général. 



INous ne saurions entrer ici dans une analyse très 

 détaillée de chaque chapitre. 



Signalons toutefois, qu'à propos de la définition du 

 genre dans les fonctions hyperelliptiques, les auteurs 

 ont pris comme point de départ cette remarque de 

 Weierstrass : « Si une fonction rationnelle en z et u 

 « devient infinie en un seul point analytique (2 , w ) 

 « arbitraire, l'ordre de cet infini ne peut pas être 

 « moindre qu'un certain nombre entier. » Cet ordre 

 minimum diminué d'une unité se nomme le genre. 



Indiquons rapidement la marche suivie dans l'étude 

 du cas général. On étudie d'abord les racines d'une 

 équation algébrique, leur continuité, leur représenta- 

 tion sur une surface de Riemann à n feuillets, après 

 avoir exposé d'après Puiseux les propriétés si remar- 

 quables de la permutation des racines autour des points 

 critiques. Ou étudie ensuite les fonctions uniformes sur 

 une surface de liiemann et on étend à ces fonctions les 

 théorèmes généraux qui concernent les fonctions uni- 

 formes d'une variable dans le plan ordinaire. 



Vient ensuite l'étude générale de la connexion et des 

 coupures sur une surface de Riemann; la définition 

 des intégrales abéliennes de première, deuxième et 

 troisième espèce, les périodes et les points critiques 

 de ces intégrales. 



Le nombre des feuillets d'une surface de Riemann 

 n'a qu'une importance relative; il suffit d'une transfor- 

 mation bi-rationnelle pour le modifier. En revanche, la 

 connexion et le genre ne changent pas par ces trans- 

 formations, en sorte que ces trois notions, connexion, 

 genre, transformations rationnelles, se trouvent étroi- 

 tement liées. Aussi la place de la question des trans- 

 formations rationnelles est-elle toute marquée à la 

 suite de l'étude de la connexion. Cette partie de la 

 théorie est dominée par le théorème célèbre de Nôther, 

 qui ramène, par une transformation bi-rationnelle, le 

 cas d'une courbe algébrique possédant seulement des 

 points doubles à tangentes distinctes. 



Les courbes des genres 0, 1, 2 sont, dans l'ouvrage, 

 l'objet d'une étude particulière. Signalons, à ce sujet, la 

 question des transformations bi-rationnelles qui font 

 revenir sur elles-mêmes les courbes des genres et 1 ; 

 les auteurs en ont tiré une élégante application à 

 l'équation d'Euler. 



Vient ensuite la définition des polynômes adjoints, 

 des intégrales normales des trois espèces; indiquons à 

 ce propos l'élégante méthode par laquelle M. Coursât 

 a établi les propriétés essentielles de l'intégrale nor- 

 male de troisième espèce, en application d'une for- 

 mule de M. Hermite relative aux fonctions représentées 

 par des intégrales définies affectées de coupures. On 

 trouvera traitée au même endroit l'importante ques- 

 tion de la décomposition d'une intégrale abélienne en 

 intégrales de diverses espèces et en une partie algé- 

 brique. Le calcul de cette partie algébrique est une 

 question difficile, dont les auteurs donnent une solu- 

 tion dans l'hypothèse où l'on possède certaines données. 



Les questions qui se rattachent à cet ordre d'idées, 

 comme celles qui ont trait aux fonctions uniformes 

 sur une surface de Riemann. conduisent à des résul- 



