BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



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BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Soienee3 mathématiques. 



Darboux (Gaston), Membre de l'Institut, Doyen et Pro- 

 fesseur de Géométrie supérieure de la Faculté des Sciences 

 de Pari*. — Leçons sur la Théorie générale des 

 Surfaces et les applications géométriques du 

 Calcul infinitésimal. 4 e Partie : Déformation infi- 

 niment petiteetReprésentation sphérique. I er fas- 

 cicule. — 1 vol. in-S°de 352 pages. [Prix: l'a fr.) Gau- 

 t/àer-Viilars et fils, éditeurs. Paris. I89o. 



L'étude des solutions infiniment voisines d'une so- 

 lution donnée tend à prendre, dans la théorie des 

 équations différentielles de toute nature, une impor- 

 tance croissante. M. Darboux, après avoir abordé, dans 

 le tome troisième de ses Leçons, la recherche de la 

 déformation en général, a donc été naturellement con- 

 duit;! traiter, dans la quatrième partie, le problème de 

 la déformation infiniment petite: problème remar- 

 quable par la variété des questions qui peuvent s'y 

 ramener, et dans lequel, supposant la surface défor- 

 mée infiniment voisine de la primitive, on évalue les 

 coordonnées de ses points aux infiniment petits du 

 second ordre près. D'ailleurs, cette approximation une 

 fois obtenue, toutes les approximations suivantes s'en 

 déduisent par de simples quadratures: caries équations 

 qui les déterminent sonttoutes linéaires et ne diffèrent 

 de la première : 



(1) 



d '■<■/.<•, -f. dydyi -\- dzdz^ =-- 



que par la présence de seconds membres. 



On reconnaît immédiatement, sur la formule de 

 l'équation (1), que son intégration équivautà la solution 

 du problème suivant: Trouver les surfacesqui correspon- 

 dent à la surface donnée avec orthogonalitè des éléments 

 linéaires homologues. C'est la même que l'on rencontre 

 dans la recherche des couples de surfaces applicables. 

 Une première méthode de mise en équation montre 

 qu'elle peut encore s'énoncer ainsi : Trouver une seconde 

 surface telle que, si l'on fait correspondre chaque point 

 de celle-ci au point de la première, qui est située sur la 

 même ordonnée, les asymptotiques de l'une correspondent 

 sur l'autre à un réseau conjugué. 



Après avoir, dans le premier chapitre, développé 

 ces premières indications et montré que le problème 

 peut être considéré comme résolu pour les quadriques 

 en raison de leur douille génération rectiligne, l'au- 

 teur suppose (Ch. 111 la surface rapportée à ses asymp- 

 totiques. Les coordonnées cartésiennes sont alors 

 représentées par les élégantes formules dues à M. Le- 

 lieuvre,et le problème est ramené à L'intégration d'une 

 équation de Laplace à invariants égaux. Ceci conduit à 

 une étude approfondie du réseau des asymptotiques, 

 où dominent ces deux résultats: 1° la représentation 

 Sphérique des asymptotiques ne peut pas être choisie arbi- 

 trairement; i" (Théorème de Kœnigs): la perspective 

 plane des asymptotiques est un réseau (t invariants égaux. 

 Application est faite aux surfaces à courbure cons- 

 tante. 



Des propriétés géométriques nombreuses sont rat- 

 tachées (Ch. III) à un couple quelconque de sur- 

 faces se correspondant avec orthogonalitè des élé- 

 ments, par l'introduction de dix autres surfaces dé- 

 duites des deux premières et qui, non seulement se 

 correspondent, elles aussi, deux à deux par orthogona- 

 litè des éléments linéaires homologues, mais aussi 

 correspondent aux premières et entre elles, soit par 

 polaires réciproques, soit comme focales d'une même 

 congruence rectiligne. Le cycle de ces douze surfaces 

 est d'ailleurs fermé, c'est-à-dire que la répétition des 



mêmes opérations ne ferait que reproduire les surfaces 

 précédemment trouvées. I. 'étude des douze surfaces 

 montre que le problème de la déformation infiniment 

 petite est encore équivalent aux deux suivants : 

 1° Trouver sur la surface un réseau conjugué à invariants 

 égaux;?? Trouver une congruence telle quêtes asymptotiques 

 se correspondent sur les deux nappes de la surface focale, 

 l'une de ces deux nappes étant la surface donnée. Ces deux 

 nouvelles formes du problème sont d'autant plus inté- 

 ressantes qu'elles ont un caractère entièrement pro- 

 jectif, au lieu que le problème primitif semblait essen- 

 tiellement métrique; de sorte que la découverte des 

 déformations infiniment petites d'une surface entraine 

 la résolution du même problème pour toutes les sur- 

 faces qu'on peut en déduire par homographie ou dua- 

 lité. 



Cette même conclusion est retrouvée directement 

 dans le chapitre IV, en même temps qu'est étudiée une 

 opération par laquelle on passe d'un des couples de 

 surfaces précédents à un autre et que l'on nomme 

 inversion composée. Elle présente des analogies avec l'in- 

 version ordinaire; mais, au lieu de porter sur un seul 

 point à la fois, elle transforme des couples de points. 

 Alors que l'inversion ordinaire conserve, à un facteur 

 près, la quantité dx- + dy- + dz 3 , celle-ci conserve la 

 forme dxdx, + dydy, ■+- dzd: t , ce qui explique le rôle 

 qu'elle joue dans la théorie actuelle. 



Enfin le chapitre V est consacré aux applications de 

 cette théorie à un certain nombre de cas particuliers, 

 tels que celui où l'une des douze surfaces est un plan 

 ou une sphère (on est ramené à la déformation infini- 

 ment petite des surfaces minima), et celui où l'une 

 des surfaces est à courbure constante, et qui conduit 

 aux surfaces, considérées par M. Voss, sur lesquelles 

 existe un réseau conjugué formé de géodésiques. 



Passant (Ch. VI) à un ordre d'idées un peu diffé- 

 rent, l'auteur considère un couple de surfaces appli- 

 cables et remarque qu'on peut les regarder comme 

 roulant l'une sur l'autre, déplacement à deux para- 

 mètres quia été déjà indiqué dans la première partie. 

 Des formules cinématiques relatives à ce déplacement, 

 on déduit une nouvelle méthode de recherche des sur- 

 faces applicables. L'étude de ce roulement introduit 

 d'ailleurs le système conjugué commun aux deux sur- 

 faces, et la proposition, due à M. Kœnigs : L'équation 

 de Laplace qui admet pour solutions tes coordonnées x, y, zj 

 de la première surface est la même que l'équation analogue 

 relative une coordonnées ./,.//,.;,. 1 de la seconde ; elle 

 admet aussi la solution x- + y- ■+- z 2 — j',- — y,'- — z, 2 . 

 Enfin l'étude du déplacement ainsi défini permet de 

 ramener à la théorie de la déformation deux nouvelles 

 questions, celle des système cycliques et celle de la 

 représentation sphérique. Si, en effet, on prend l'inter- 

 section d'une sphère de rayon nul, invariablement liée 

 à la surface mobile, avec le plan tangent commun aux 

 deux surfaces en leur point de contact, le cerrle ainsi 

 obtenu décrit un système cyclique: c'est-à-dire qu'il 

 reste normal à une certaine famille de surfaces, la- 

 quelle fait elle-même partie d'un système triple or- 

 thogonal ; de sorte que tout couple de surfaces 

 applicables donne naissance à une infinité de systèmes 

 cycliques. 



D'autre part, un plan isotrope P. lié à la surface 

 mobile, coupe le plan de contact suivant une droitequi 

 reste normale à une famille de surfaces. Si l'on rem- 

 place le plan P par un plan parallèle, la nouvelle 

 famille de surfaces aura même représentation sphé- 

 rique que la première. 



L'auteur établit (Ch. VII) que cette corrélation est 



