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BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



réciproque. Chaque couple de surfaces admettant la 

 même représentation sphérique donne des systèmes 

 cycliques et des couples de surfaces applicables. Une 

 discussion spéciale est seulement nécessaire pour ar- 

 river à des résultats réels. On obtient, en particulier, 

 par cette méthode, tous les systèmes orthogonaux où 

 l'un des systèmes de lignes de courbure est formé de 

 courbes planes. 



Analytiquement (Ch. VIII), on reconnaît que le pro- 

 blème de la représentation sphérique dépend d'une 

 équation E à invariants égaux dont les caractéristiques 

 sont les lignes de courbure. Etant donné que, pour le 

 problème de la déformation, les caractéristiques sont 

 les ligues asymptotiques, on peut pressentir, et l'on 

 vérifié en effet, que les deux problèmes se ramènent 

 l'un à l'autre par la transformation de M. Lie. 



Ces résultats s'appliquent tout naturellement à la 

 recherche des surfaces à lignes de courbure planes ou 

 sphériques, lesquelles correspondent à des équations 

 (E) qui s'intègrent par une, deux ou trois applications 

 de la méthode de Laplace. On obtient, en effet, d'élé- 

 gantes constructions de ces surfaces, les premières 

 s'obtenant par le roulement de deux développables, 

 les secondes se ramenant aux premières. Toutes se 

 déduisent (à des cas de dégénérescence près) par des 

 inversions et des dilatations, soit d'un cûne, soit de la 

 surface dont les normales sont tangentes à un cône. 

 Un cas particulier curieux est celui des surfaces iso- 

 thermiques à lignes de courbure planes, pourlesquelles, 

 en utilisant les fonctions doublement périodiques de 

 seconde espèce de M. llermite, on trouve une généra- 

 tion dépendant d'une fonction arbitraire, quoi qu'il y 

 ait deux équations aux dérivées partielles à vérifier 

 simultanément. 



Après avoir (Ch. XIII) généralisé la théorie des 

 équations de Laplace au cas de plusieurs variables 

 indépendantes, et en avoir déduit un important théo- 

 rème de M. Combescure sur les systèmes orthogonaux, 

 l'auteur arrive (Ch. XV) à l'exposition des nouveaux 

 résultats obtenus par un des savants auxquels la 

 théorie des surfaces applicables doit ses plus grands 

 progrès, M. .1. Weingarten. Ces résultats, qui avaient 

 été publiés sans que leur inventeur ait laissé aperce- 

 voir la méthode qui l'avait guidé, se rattachent au con- 

 traire directement aux principes précédemment 

 posés. 



Prenons, avec M. \Yeingarten, un élément linéaire 

 donné sous la forme : 



(2) 



ds* = ( /,(2 _j_ 2pilnd.r -(- iqdti- 



(p et q étant les dérivées partielles d'une même fonc- 

 tion) : ceci revient à supposer que l'on connait une 

 surface 0, admettent l'élément linéaire en question. 

 Soit alors une surface applicable sur la première : 

 déplaçons-la par le roulement à deux paramètres, défini 

 précédemment: une droite isotrope liée à la surface 

 mobile percera le plan de contact en un point qui dé- 

 crira une surface S'. Si nous imaginons que la droite 

 isotrope s'éloigne indéfiniment dans un plan fixe, la 

 surface S' s'éloignera aussi indéfiniment : mais on 

 peut lui appliquer une homothétie à rapport infini- 

 ment petit qui la ramène à distance finie et elle a alors 

 une position limile -. C'est cette surface - qu'a consi- 

 dérée M. Weingarten. Il a constaté que l'applicabilité 

 des deux surfaces 0., 0,, se traduit par une relation 

 entre les rayons de courbure de S et les distances du 

 plan langent ainsi que de son point de contact à l'ori- 

 gine dos coordonnées. 



Si l'on emploie le système de coordonnées tanger 

 tiellcs de Bonnet, on est ainsi conduit à intégrer 

 l'équation : 



il-r i], r 



0~xdj~ (1 + «p)*' 



On sait intégrer un certain nombre d'équations de 

 ce type. Lesunes correspondent à des cas déjà décou- 

 verts par M. Weingarten (déformation du paraboloïde 



de révolution, de la développée d'alysséide); les autres 

 donnent de nouvelles surfaces, imaginaires, il est vrai, 

 pour lesquelles on peut trouver toutes les dé formations 

 possibles : ce sont des surfaces réglées à plan direc- 

 teur isotrope. 



La méthode que nous venons de résumer a été géné- 

 ralisée par M. Weingarten. Elle peut, en effet, être 

 regardée comme une forme particulière de la suivante: 

 Par chaque point de la surface cherchée (qui admet 

 un élément linéaire donné), menons une tangente à 

 faisant des angles connus avec les courbes coordonnées. 

 Une parallèle à cette tangente, menée par l'origine, 

 coupera la sphère de rayon I en un point que l'on 

 pourra définir par des coordonnées sphériques u ,r et 

 l'on pourra mettre en équation le problème proposé 

 en cherchant à déterminer les coordonnées u,v de la 

 surface en fonction de u',v'. On simplifiera les équa- 

 tions par un choix particulier des droites </ : Ayanl pris 

 une famille de courbes sur la surface, les courbes u = 

 constante, par exemple, on mènera les droites (/cor- 

 respondant aux points d'une de ces courbesde manière 

 que la surface réglée ainsi formée admette cette courbe 

 pour ligne de striction. Il est remarquable que la solu- 

 tion de ce problème auxiliaire ne dépend que de l'élé- 

 ment linéaire donné. Elle peut d'ailleurs s'interpréter 

 géométriquement de la manière suivante: ayant cons- 

 truit la développable circonscrite à la surface le long 

 de la courbe u = constante, on étalera cette dévelop- 

 pable sur un plan: les tangentes cherchées sont celles 

 qui, dans cette transformation, deviendraient paral- 

 lèles entre elles. 



Moyennant cette précaution, on trouve une équa- 

 tion du second ordre aux variables indépendantes, u',v' 

 pour déterminer le paramètre u\ après quoi, la solu- 

 tion complète du problème ne dépend plus que de qua- 

 dratures. L'exposé rapidedecesrecherchesdeM.Wein-r 

 garten, qui constituent une transformation nouvelle 

 et inattendue du problème de la déformation, sert de 

 conclusion au nouveau fascicule de M. Darboux. 



J. Hadamabd. 



2° Sciences physiques. 



Guignet (G. E.). Directeur des Teintures aux Manufac- 

 tures nationales des Gobelins et de Beauvais; Dominer 

 (F.), Professeur à VEcole de Physique et de Chimie indus- 

 trielles de la Ville de Paris, et GrandmoiiKin (E.), 

 ancien préparateur à VEcole de Chimie de Mulhouse. — 

 Blanchiment et apprêts. Teinture et impression. 

 Matières colorantes. — 1 vol. gr. in-H" de 674 pages 

 avec 339 /î<y. et 23 échantillons d'étoffes teintes et im- 

 primées. (Encyclopédie industrielle de M. Lechilas.) 

 [Prix : -20 fr.) Gauthier - Yillars et fils, éditeurs, 

 Paris. 1896. 



Cet ouvrage est sans conteste le plus important, au 

 point de vue pratique, qui ait paru en France, depuis 

 les traités classiques de Persoz (1846) sur V Impression 

 des Tissus et de Schiitzenberger (1867) sur les Mai 

 colorantes et leurs applications à la Teinture et à l'lmpres~ : 



.s ioll. 



Le premier expose dans leurs moindres détails 

 toutes les opérations du blanchiment, de la gravure, 

 de l'impression, du mordançage, de la teinture, du 

 vaporisage, etc., et passe en revue tous les g\ nres qui 

 se faisaient alors sur les tissus de coton, de laine, de 

 soie et les tissus mixtes. Pour l'époque, c'était une 

 véritable Encyclopédie des connaissances théoriques! 

 et pratiques, dans tous les domaines se rattachant à 

 l'Industrie des toiles peintes. Mais la date même de 

 l'œuvre indique que, si les données pratiques sut 

 l'emploi des matières colorantes peuvent y être 



exposées avec la dernière précision et la plus gr le 



autorité, par contre les données scientifiques sur la 

 constitution de ces matières colorantes doivent y l'aire 

 absolument défaut. 



Le remarquable traité de M. Schiitzenberger, paru 

 plus de vingt ans après celui de Persoz, considérant 



