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BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques. 



Puincaré (Henri), Membre de l'Institut, Professeur de 

 Physique mathématique à la Faculté des Sciences de 

 Paris. — Théorie analytique de la propagation de 

 la Chaleur. Leçons professées pendant le 1 er semestre 

 1893-114. rédigées pur MM. Rouyer et Baire. — Un 

 vol. grand in-8° de 320 pages arec figures. [Prix: 12/h) 

 G. Caire, éditeur, Paris, 1896. 



« La Théorie de la Chaleur de Fourier est un des pre- 

 c miers exemples de l'application de l'Analyse à la 

 c Physique; en parlant d'hypothèses simples qui ne 

 « sont autre chose que des laits expérimentaux géné- 

 « ralisés, Fourier en a déduit une série de conséquences 

 « dont l'ensemble constitue une théorie complète et 

 (< cohérente. Les résultats qu'il a obtenus sont certes 

 « intéressants par eux-mêmes, mais ce qui l'est plus 

 « encore est la méthode qu'il a employée pour y par- 

 « venir et qui servira toujours de modèle à tous ceux 

 « qui voudront cultiver une branche quelconque de la 

 <• Physique mathématique. J'ajouterai que le livre de 

 « Fourier a une importance capitale dans l'histoire des 

 « mathématiques, et que l'analyse pure lui doit peut- 

 « être plus encore que l'analyse appliquée. » 



C'est par ces lignes que débute le livre de M.Poin- 

 caré. Il est consacré à l'exposition des problèmes qu'a 

 traités Fourier; il aborde, en outre, plusieurs ques- 

 tions connexes d'un grand intérêt. Aux mathématiciens, 

 il présente la démonstration rigoureuse d'un certain 

 nombre de résultats, que Fourier a plutôt devinés 

 qu'établis; aux physiciens, il signale des rapproche- 

 ments instructifs entre l'équation de la chaleur et 

 d'autres équations aux dérivées partielles, telles que 

 l'équation des télégraphistes : aux uns et aux autres, il 

 rend plus familière la grande œuvre de Fourier. 



« Les causes primordiales ne nous sont point con- 

 « nues, déclare Fourier au début de son Discours préli- 

 <■ minaire, mais elles sont assujetties à des lois simples 

 « et constantes que l'on peut découvrir par l'observa - 

 « lion, et dont l'étude est l'objet de la Philosophie 

 « naturelle. » 



Quand on relit ce Discours préliminaire et la Théorie 

 analytique de la Chaleur, on est frappé de voir à quel 

 point le grand géomètre apportait, dans son analyse, 

 des préoccupations de physicien. Ce qu'il a toujours 

 on vue, c'est « décomposer le mouvement général de 

 la chaleur en autant de mouvements particuliers dont 

 chacun s'accomplira comme s'il était seul », c'est 

 obtenir des intégrales « qui représentent de la manière 

 la plus distincte Veffet naturel qui est l'objet de la 

 question », condition sans laquelle « les résultats du 

 calcul ne nous paraîtraient que des transformations 

 inutiles ». 



Dans le cas de Varmille, si la distribution initiale de 

 la température est représentée par la fonction sinu- 

 soïdale simple A : sin n. 2 tu y, — l étant la longueur 



totale de la bague, x la distance de la section consi- 

 dérée à une section fixe, et n un entier quelconque, — 

 la loi du refroidissement est extrêmement simple. Dans 

 un milieu extérieur à température 0, la température 

 V sera devenue au temps t : 



V {.r. t) — A sin ».2i 



-nV. 



Le problème revient à décomposer la distribution 

 initiale, donnée par une fonction périodique de x 

 ayant pour période /, en une série de la forme : 



\ 



> I A» sin n 2it — + B n cos n.2 tu — 1 . 



Chacun des « harmoniques » s'amortira avec une ra- 

 pidité propre, d'autant plus grande que sa « longueur 

 d'onde » est plus faible. 



C'est d'ailleurs à propos d'un autre problème qu'on 

 rencontre pour la première fois le développement 

 d'une fonction périodique d'une variable en série tri- 

 gonométrique : c'est à l'occasion du problème des tem- 

 pératures stalionnaires dans une barre métallique chauffée 

 à un bout. (Chapitre m de M. Poincaré.) 



Dans le cas d'une sphère de rayon R, si on suppose 

 que la température ne dépend que de la distance x au 

 centre, il faudra de même décomposer la distribution 

 initiale en une série de distributions telles que : 



— A„ sin |j.„ . 2- 



R 



assujetties chacune à la condition de se conserver sem- 

 blable à elle-même dans le refroidissement. Mais or 

 trouve ici que le coefficient fi„ doit être, non plus l'en- 

 tier n, mais la ?i iè, " e racine réelle de l'équation trans- 

 cendante tg^i = Cja, Il s'agit donc de développer une 

 fonction en série procédant suivant b's sinus 



de |i,2w^,i«, 



^ 



2^, etc. 



les quantités n,, \i .. u.„ 



étant les racines d'une équation transcendante. 



M. Poincaré rappelle très justement que Fourier a 

 admis sans démonstration la possibilité d'un pareil 

 développement. Et il consacre trois chapitres (cha- 

 pitres xi, xii et xiii) à la méthode de Cauchy pour 

 développer une fonction arbitraire en série de forme 

 déterminée, — méthode fondée sur l'étude des valeurs 

 asymptotiques des fonctions. 



Si les dimensions du corps ne sont pas finies, si l'on 

 a un fil de longueur infinie, au lieu du (il dont les 

 bouts se rejoignaienl pour former l'armille, — ou 

 encore un solide indéfini dans tous les sens, — on ne 

 peut plus donner à la distribution initiale la forme 

 d'une série. Mais « lorsque, dans les séries conver- 

 gentes que l'analyse fournit, on donne aux quantités 

 qui désignent les dimensions une valeur infinie, chacun 

 des termes devient infiniment petit et la somme de la 

 série n'est autre chose qu'une intégrale. » 



Les chapitres v, vi et vu de M. Poincaré indiquent, avec 

 tout le détail nécessaire, comment on peut passer de 

 la série de Fourier à l'intégrale de Fourier. Laplace 

 avait donné au coefficient différentiel qui figure sous 

 le signe f une forme différente; et Fourier avait déjà 

 démontré l'équivalence des deux modes de calcul. 

 M. Poincaré établit cette équivalence par les propriétés 

 des fonctions elliptiques. 



S'agit-il enfui d'un corps solide limité d; forme quel- 

 conque, ou d'une sphère dans laquelle la distribution 

 ne soit pas uniquement fonction de la distance au 

 centre, le problème se complique. Fourier affirme 

 qu'on peut le résoudre en généralisant la méthode 

 employée dans le cas d'une variable unique. On décom- 

 posera la distribution initiale en une série de distribu- 

 tions représentées chacune par une fonction harmonique 

 des coordonnées à l'intérieur du solide. Pour savoir ce 

 qu'est devenue l'une de ces distributions élémentaires 

 au bout du temps t, il n'y a qu'à multiplier la fonction 

 harmonique initiale par l'exponentielle e~ *', k étant 

 naturellement un coefficient particulier à chacune des 

 distributions. « Ici, dit M. Poincaré (chapitre xiv), nous 



