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BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques. 



Méray (Ch.), Professew à lu Faculté des Sciences de 

 Dijon. — Leçons nouvelles sur l'Analyse infinité- 

 simale et ses applications géométriques. Tome II : 

 Etude monographique des principales fonctions 

 d'une seule variable. ■ — 1 vol. gr. in-8" de 500 pages 

 (Prix : 14 fr.), Gauthier-Villars et fils. Paris, 1896. 



Le nouveau volume que M. .Méray publie sur l'And- 

 lyse infinitésimale est presque entièrement consacré à 

 l'introduction au calcul général, et à l'étude des fonc- 

 tions particulières qui constituent, avec les polynômes 

 entiers et les fractions rationnelles, les matériaux des 

 principales applications de l'Analyse actuelle. 



Les deux premiers chapitres ont encore pour but des 

 propriétés de fonctions très générales, les fonctions 

 olotropes et les fonctions méromorphes, qui sont des 

 quotients de deux fonctions olotropes; mais l'auteur se 

 restreint systématiquement ici aux fonctions d'une 

 seule variable. Dans le premier chapitre, il montre la 

 ressemblance profonde qui existe entre les fonctions 

 olotropes d'une seule variable et les polynômes en- 

 tiers, donne une démonstration remarquable et simple 

 du théorème de d'Alembert, un procédé théorique très 

 aisé à concevoir pour le calcul des racines d'une équa- 

 tion olotrope, et termine par une étude succincte, 

 mais rigoureuse, des propriétés particulières des 

 fonctions olotropes réelles. 



Dans le second chapitre, il montre l'analogie étroite 

 qui existe entre une fonction méromorphe et une 

 fraction rationnelle, les formes qu'elle peut prendre 

 par la considération de ses zéros et de ses infinis, les 

 caractères auxquels on reconnaît qu'elle dégénère, 

 soit en une fraction rationnelle, soit en une constante; 

 puis il applique tous ces résultats à la discussion des 

 phases critiques des fonctions à composantes ration- 

 nelles de fonctions simples olotropes et méromorphes, 

 et retrouve ainsi très simplement les règles de Lhospital.; 

 il termine le second chapitre par une exposition des 

 principales formules du calcul des résidus, et par une 

 application importante de cette théorie particulière au 

 problème de l'interpolation énoncé d'une façon générale. 



C'est au chapitre DI que commence la monographie 

 des fondions simples. Ce chapitre, qui renferme l'étude 

 de la fonction radicale simple, est, sans contredit, l'un 

 des plus remarquables du volume ;je le considère comme 

 l'un des plus beaux exemples de netteté, de rigueur et 

 de logique que j'aie rencontrés dans la lecture d'ou- 

 vrages mathématiques. Je ne saurais trop encourager 

 le lecteur à en approfondir l'esprit et la méthode : car, 

 plus loin, dans le chapitre V, les mêmes procédés et 

 les mêmes raisonnements réapparaissent pour l'édifi- 

 cation de la théorie du logarithme népérien. 



L'auteur définit la fonction radicale simple comme 

 étant la (onction implicite de x qui satisfait à l'équation 

 u m = a° , dans laquelle m et n sont des entiers positifs 

 ou négatifs, le premier pouvant, d'ailleurs, toujours 

 être supposé positif. La théorie des fonctions implicites 

 exposée dans le premier volume, lui permet d'affirmer 

 l'existence d'une fonction de x vérifiant cette équation, 

 et qui est olotrope dans toute aire fermée, à contour 

 simple, ne contenant pas l'origine, mais renfermant 

 le point initial x , pour lequel on a la valeur accep- 

 table non nulle w„ (»„•" = ,r n ). Le calcul des dérivées 

 successives de cette fonction est immédiat, et la 

 formation du premier développement en série de 

 la fonction u en découle. En s'appuyant sur le che- 

 minement et sur la relation identique u m = x n , 

 l'anieur aperçoit aisément les diverses propriétés de 



celte fonction. U étend alors, par identification toules 

 ces propriétés à une fonction nouvelle, plus générale 

 que la précédente, qui prend la valeur 1 pour x = i, 

 et qui est représentée par la même série que celle-ci, 



où l'on remplace toutefois par x — 1, et le 



nombre fractionnaire — par un nombre quelconque, 



réel ou imaginaire. Puis, il étudie l'influence des di- 

 vers chemins qui conduisent du point x == 1 au point 

 quelconque x — x ; il montre que chacun d'eux se 

 ramène à un chemin simple déterminé, allant du point 1 

 au point x a , précédé d'un certain nombre d'anneaux 

 directs ou rétrogrades autour de l'origine; l'influence 

 d'un anneau direct est toujours la même, quelle que 

 soit sa forme : il a pour effet de multiplier la valeur 

 initiale de la fonction sur cet anneau, par une cons- 

 tante <1>; chaque anneau rétrograde introduit le facteur 



— — . Il ne reste plus alors à l'auteur qu'à étudier les 



propriétés de ce multiplicateur et le moyen de l'éva- 

 luer numériquement. Il en déduit la résolution des 

 équations binômes, et termine le chapitre III par une 

 application des résultats ainsi trouvés à la représen- 

 tation complète des fonctions qui satisfont à l'équation 



u m — x * = 0. 



Le chapitre IV, consacré à l'étude des phases cri- 

 tiques des fonctions implicites, définies par une équa- 

 tion olotrope en a; et u, fournit une application immé- 

 diate du symbole radical que l'auteur vient d'intro- 

 duire. M. Méraymontre,enefîet,quesi l'on a:/'j(.e„, u„) = 0, 



-J- (Xo, iio) = 0, les fonctions satisfaisant à l'équation 



du ' 



f (x, u) — 0, et se réduisant à u pour x = x , sont re- 

 présentables par des séries entières en x — Xo ou en 



{.v — a; ) — . Le procédé employé est tout à fait élémen- 

 taire : c'est la méthode des coefficients indéterminés. 



Pour abréger, nous indiquerons seulement la mé- 

 thode que l'auteur emploie constamment dans l'étude 

 de l'exponentielle, des fonctions circulaires et des 

 fonctions elliptiques : il s'occupe d'abord des intégrales 

 qui donnent les fonctions inverses de celles-ci, le loga- 

 rithme, l'arc tangente, l'arc sinus, etc., et les inté- 

 grales elliptiques, puis il en déduit, par inversion, les 

 propriétés des fonctions antérieurement citées. C'est la 

 méthode qui a conduit aux fonctions elliptiques, et 

 permis d'en faire une première étude; c'est la méthode 

 rationnelle, quand on se place au point de vue analy- 

 tique pur. A la vérité, l'auteur n'applique complètement 

 cette méthode d'investigation qu'au logarithme et à 

 l'exponentielle; mais cela tient, d'une part, à ce que 

 les inlégrales circulaires s'expriment à l'aide du loga- 

 rithme et que, pour elles, le problème d'inversion et 

 l'étude de leurs propriétés se traitent immédiatement 

 par l'emploi du symbole exponentiel ; d'autre part, à 

 ce qu'il est préférable, une fois la considération des 

 fonctions doublement périodiques introduite en analyse 

 par l'inversion de l'intégrale elliptique, d'édifier une 

 théorie générale de ces fonctions et d'y appuyer la 

 théorie des fonctions elliptiques. 



Le chapitre V est consacré au logarithme et à l'ex- 

 ponentielle; le chapitre VI, aux fonctions circulaires. 



Le chapitre VII renferme, dans sa première partie, 

 une très belle étude des fonctions unipériodiques pola- 

 risées. M. Méray, à qui est due cette notion de polarité, 

 a écrit à cet endroit des pages qui sont parmi les plus 

 élégantes et les plus nettes de celles qui composent 



