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BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques. 



I«.œnig's (G.), Professeur suppléant au Collège de France. 

 — La Géométrie réglée et ses applications : coor- 

 données ; systèmes linéaires ; propriétés infinité- 

 simales du premier ordre. — 1 roi. ia-'t" de 148 pages 

 [Prie : o />'.) Gauthier -Villar s, Paris, 1896. 



L'auteur des recherches sur les Propriétés infinité- 

 simales de l'espace réglé était mieux prépaie que per- 

 sonne à l'exposition de cette importante théorie : 

 théorie intéressante à plus d'un titre, puisque, née de 

 l'Optique géométrique, elle a enseigné à considérer 

 systématiquement, comme éléments de l'espace, des 

 ligures autres que le point, transformant ainsi à la fois 

 la Géométrie et l'Analyse. 



Un autre coté par lequel la Géométrie réglée mérite 

 particulièrement d'atirer l'attention est son caractère 

 invariant. La géométrie des lignes droites se corres- 

 pond à elle-même tant homographiquement que dua- 

 îistiquement : que l'on définisse une ligne droite par 

 les points dont elle est le lieu ou par les plans qui la 

 contiennent, on est conduit à la représenter par le 

 même système (corrélatif à lui-même) de six coor- 

 données z,, z SJ ..., z e , liées entre elles par une relation 

 quadratique w (z) = 0, la forme polaire w (z/z') de <o (z) 

 s'annulant lorsque les droites se rencontrent ou (ce 

 qui revient au même) lorsqu'elles sont dans un 

 même plan. 



De ce caractère dualistique résulte immédiatement 

 une conséquence curieuse. Si les coordonnées d'une 

 droite variable dépendant d'un paramètre sont des 

 combinaisons linéaires de celles de deux droites fixes, 

 soit : 



zt — at +X6i, {i— 1, 2, ... 6), 



ces deux dernières se rencontrent, et la droite variable 

 décrit un faisceau-plan (ensemble des droites passant 

 par un point fixe dans un plan fixe). Mais si l'on intro- 

 duit trois droites fixes telles qu'une combinaison li- 

 néaire arbitraire : 



zi = ai -f- ). bi -f- (i a 



de leurs coordonnées donne une droite variable, dépen- 

 dant de deux paramètres, cette droite décrira soit un 

 système-plan (ensemble de toutes les droites d'un [dan), 

 soit une gerbe (ensemble de toutes les droites issues 

 d'un même point). Ces deux notions sont corrélatives 

 l'une de l'autre : la Géométrie réglée ne distingue pas 

 entre elles ; elle les confond sous le nom d'hyper- 

 faisceau . 



Après avoir exposé ces généralités, l'auteur étudie 

 les complexes linéaires, puis les systèmes de com- 

 plexes, a propos desquels il définit les corrélations 

 linéaires (correspondances homographiques entre les 

 points d'une droite et les plans qui passent par cette 

 droite) et introduit la notion du rapport anharmonique 

 et de l'involution de deux complexes. Il aborde en- 

 suite la Géométrie infinitésimale en coordonnée-- de 

 droites par l'élude des complexes linéaires tangenls à 

 une série réglée (série de droites dépendant d'un para- 

 mètre). Si eeiie série réglée constitue une surface 

 gauche, on a les notions de quadrique de raccordemenl 

 et d'hyperbolûïde oscillateur. .Mais la série réglée peut 

 aussi se composer des tangentes d'une courbe gauche; 

 c'est à propos de cette espèce de séries réglées que 

 M. Kœnigs définit Vêlement de contact de Lie, ou plutôl 

 présente, à ce nouveau point de vue. la notion defais- 

 ceau plan. Etant donnée la simplicité avec laquelle 

 s'introduit l'élément de contact, la Géométrie réglée 



est particulièrement propre à l'étude de la Géométrie 

 de Lie. L'identilé, sous ce point de vue, entre les sur- 

 faces, les courbes et les plans, s'y présente naturel- 

 lement. 



Si maintenant, au lieu d'une série réglée, on consi- 

 dère un complexe quelconque f \x) = 0, l'équation : 



.'/' 



df du, 



= II, 



où les Xi sont les coordonnées d'une droite du com- 

 plexe et les yi des coordonnées courantes, représente 

 un système de complexes linéaires tangents au com- 

 plexe donné suivant cette droite. Ces complexes sont 

 tous spéciaux si l'on a : 



(1) 



"(I)-' 



(Q étant la forme adjointe de u>), et la droite considérée 

 est une droit* singulière du complexe. Les théories pré- 

 cédentes permettent de démontrer avec une remar- 

 quable simplicité l'existence de la surface des singu- 

 larités. 



On arrive non moins simplement à la solution d'un 

 des problèmes fondamentaux de la théorie des com- 

 plexes : à quelle condition un complexe est-il composé des 

 tangentes d'une surface (ou plus exactement de droites 

 ayant une enveloppe, c'est-à-dire tangentes aune même 

 surface ou rencontrant une même ligne, ou passantpar 

 un même point)"? Cette condition est précisément que 

 toutes les droites du complexe vérifient la condition (1 ). 



Le dernier chapitre se compose de deux parties : il 

 est tout d'abord consacré à la représentation de l'es- 

 pace réglé par les coordonnées de Klein, coordonnées 

 choisies de manière que la forme w soit réduite à 

 une somme de carrés. Les six complexes cordonnées 

 G offrent alors entre eux de remarquables rela- 

 tions. Ils sont en involution deux à deux. A toute 

 distribution des six coordonnées en deux groupes de 

 trois correspond une quadrique qui contient les direc- 

 trices A,y de la congruence commune à deux complexes 

 quelconquesC; , Ç> , d'un même terme; à tonte distribu- 

 tion des six coordonnées en trois groupes de deux 

 coirespond un tétraèdre ayant pour arêtes des 

 droites A; de sorte qu'il y a 1S pareils tétraèdres. Les 

 60 sommets de ces tétraèdres sont trois à trois sur 

 220 droites qui servent aussi chacune d'intersection à 

 trois faces, etc., etc. 



L'auteur reprend ensuite, à un autre point de vue, la 

 théorie générale des représentations de la droite en 

 considérant les six coordonnées z,, z, ...,; 6 comme 

 des coordonnées homogènes dans l'espace à cinq 

 dimensions; il est clair que les droites de l'espace 

 ordinaire correspondront aux points d'une quadrique 

 E-, à quatre dimensions dans cet liyperespace, qua- 

 drique représentée par l'équation u a) = 0. Cette qua- 

 drique contient une infinité d'espaces linéaires à une 

 dimension (correspondant aux faisceaux-plans de l'es- 

 pace ordinaire) et une infinité d'espaces linéaires à 

 deux dimensions, correspondant aux hyperfaisceaux. 

 Puisqu'il y a deux socles d'hyperfaisceaux, la gerbe et 

 le système-plan, il doit y avoir deux sortes de ces 

 espaces linéaires. C'est, en effet, ce qui se produit : les 

 espaces linéaires en question se groupent en deux sys- 

 tèmes, absolument comme les génératrices rectilign.es 

 d'une quadrique ordinaire .née cette différence, tou- 

 tefois, que deux espaces du même système se coupent, 

 et non deux espaces de systèmes différents). 



