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BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques. 



Painlevé (Paul), Professeur adjoint à la Faculté des 

 Sciences de Paris. — Leçons sur l'intégration 

 des Equations différentielles de la Mécanique 

 et applications. — I vol. m-4" de 201 pages. (Prix : 

 14 francs). Hermann, éditeur. Paris, 1896. 



Comme l'indique le titre, les Leçons sur l'intégra- 

 tion des Equations différentielles de la Mécanique n'ont 

 pas la prétention de constituer par elles-mêmes un 

 cours de Dynamique, mais seulement de compléter ce 

 cours sur certains points. Ce n'est pas que tous les 

 sujets principaux de la Mécanique rationnelle n'y soient 

 effleurés. L'ouvrage débute parle rappel des principes 

 fondamentaux sur lesquels repose la Dynamique, et la 

 brièveté de ce chapitre n'en exclut pas plusieurs vues 

 intéressantes. Mais l'auteur a pour principal objet 

 l'étude analytique du problème général de la Dyna- 

 mique : il résume rapidement les théorèmes qui 

 servent à l'étude du mouvement d'un corps solide et 

 aborde la mise en équation du problème à l'aide du 

 principe des vitesses virtuelles et du principe de 

 d'Alembert. L'exposé du principe des vitesses virtuelles, 

 pour les systèmes sans frottement, est fixé aujourd'hui 

 dans ses lignes principales; mais la leçon consacrée 

 aux systèmes à frottement est au contraire entièrement 

 nouvelle. M. Painlevé montre que les réactions peuvent 

 toujours être décomposées, et cela d'une seule ma- 

 nière, en deux parties : un premier système de forces 

 constitue les forces de liaison proprement dites, telles 

 que leur travail virtuel soit identiquement nul; le se- 

 cond système (forces de frottement) est tel que. multi- 

 plié par un nombre infiniment petit, il représente un 

 déplacement virtuel du système matériel. Après avoir. 

 énuméré les principaux types de systèmes sans frotte- 

 ment, l'auteur établit les équations de Lagrange, en 

 discutant avec plus de soin qu'on ne le fait en général 

 la légitimité de leur application aux systèmes con- 

 tinus. 



Un problème de mécanique étant ainsi mis en équa- 

 tion, il s'agit d'intégrer le système d'équations ainsi 

 obtenu. M. Painlevé commence par lui appliquer les 

 propriétés générale des équations différentielles. Mais 

 les équations de la Dynamique ne sont pas des équa- 

 tions différentielles quelconques : elles possèdent des 

 propriétés particulières qui en facilitent l'intégration. 

 On constate, en effet, dans chaque cas particulier, que, 

 lorsqu'on a obtenu un certain nombre d'intégrales, la 

 recherche des intégrales restantes et, par suite, la so- 

 lution complète du problème, n'exigent plus que des 

 quadratures. Ce fait, dont les traités n'indiquent pas 

 toujours la raison générale, tient à ce qu'on connaît un 

 multiplicateur du système différentiel en question. 

 L'auteur est donc conduit à exposer cette théorie du 

 multiplicateur, puis il démontre le théorème général 

 de Jacobi, par lequel l'intégration est ramenée à la ré- 

 solution d'une équation aux dérivées partielles du pre- 

 mier ordre non linéaire. 



La Leçon qui suit, consacrée à l'étude des trajectoires 

 réelles, est l'exposé de résultats personnels à M. Pain- 

 levé. Les k paramètres qui définissent la position du 

 système étant considérés comme les coordonnées d'un 

 point dans l'espace à /,■ dimensions, l'élimination de t 

 entre les équations du problème fournit les trajec- 

 toires de ce point représentatif (considérées indépen- 

 damment de la loi du mouvement sur ces courbes). Si 

 le système n'est soumis à aucune force, ces trajectoires 

 ne dépendent que de 2 I; — 2 arbitraires : ce sont les 

 geodesi<[ues de la forme quadratique qui représente la 



force vive; chacune d'elles correspond à une infinité 

 de mouvements qui s'opèrent avec des vitesses diffé-\ 

 rentes. Mais, s'il y a des forces accélératrices (du 

 moins en supposant ces forces indépendantes des vi- 

 tesses), il en est nécessairement autrement : les tra- 

 jectoires dépendent de i k — f arbitraires, la trajec- 

 toire changeant en général si l'on multiplie les vitesses 

 initiales par un même nombre quelconque. Il y a 

 exception pour le nombre — 1 : tout mouvement d'un 

 système sans frottement, soumis à des forces qui ne 

 dépendent que de la position du système, est i et ersible, 

 c'est-à-dire peut s'opérer dans les deux sens. 



Lesgéodésiques continuent à faire partie du faisceau 

 des trajectoires : ce sont des trajectoires limites, cor- 

 respondant aux valeurs infiniment grandes de la cons- 

 tante des forces vives, et par conséquent des vitesses. 

 C'est ainsi que, dans le mouvement des projectiles, 

 aux grandes vitesses initiales correspondent des tra- 

 jectoires très « tendues » qui diffèrent infiniment peu 

 de lignes droites. Enfîu, dans certains cas, il existe 

 des trajectoires, dites trajectoires remarquables, sur les- 

 quelles il existe une infinité de mouvements distincts 

 et qui, en particulier, sont également des géodésiques : 

 telles par exemple, les verticales dans le cas de la pe- 

 santeur. 



De la réalité de la trajectoire on ne peut pas tou- 

 jours conclure à la réalité du mouvement. L'intégrale 

 qui représente le temps a, en effet, pour élément dif- 

 férentiel un radical carré, lequel est tantôt réel, lantùt 

 purement imaginaire; de sorte que la trajectoire ap- 

 partient tantôt au mouvement en question, tantôt au 

 mouvement conjugué de celui-là : mouvement que l'on 

 déduit du premier en changeant l en it, ou encore en 

 changeant de sens les forces accélératrices sans en 

 changer les grandeurs ni les directions. Il existe d'ail- 

 leurs une infinité de trajectoires (trajectoires mixtes) 

 qui correspondent en partie au mouvement véritable 

 et en partie au mouvement conjugué. I.*'s deux arcs 

 qui jouent ainsi des rôles différents sont séparés par un 

 point d'arrêt où le système arrive sans vitesse pour 

 rebrousser ensuite chemin. Il existe une trajectoire 

 mixte, et une seule, qui a son point d'intérêt en une 

 position donnée quelconque : c'est celle que l'on ob- 

 tient en abandonnant le système sans vitesse initiale 

 dans la position en question. Il peut arriver qu'une 

 même trajectoire mixte renferme plus d'un point 

 d'arrêt; le mouvement sur l'arc compris entre deux 

 tels points est alors alternatif et périodique. Enfin 

 peuvent être mixtes d'une infinité de façons les tra- 

 jectoires remarquables, s'il y en a. 



Comme autres trajectoires exceptionnelles, il y a 

 lieu de noter les trajectoires singulières, où le système 

 tend asymptotiquement vers une position limite, qui 

 est une position d'équilibre instable. 



Le calcul des équations différentielles des trajec- 

 toires, dans le cas où les forces données dérivent d'un 

 potentiel, conduit naturellement au principe de la 

 moindre action, d'après lequel les trajectoires peuvent 

 être considérées comme des géodésiques, même lors- 

 qu'il y a des forces accélératrices. Ce principe et le 

 principe de Ilamilton amènent à considérer les équa- 

 tions de la Dynamique comme des formes particulières 

 des équations du calcul des variations et à déduire de 

 ce point de vue les propriétés fondamentales. 



On retrouve ainsi l'existence d'un multiplicateur et 

 les propriétés des trajectoires, et l'on revient aux rela- 

 tions qui existent entre l'intégration des systèmes ca- 

 noniques et l'intégration des équations aux dérivées 

 partielles du premier ordre. C'est de ce rapprochement 



