BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



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BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques. 



NlewenglowskJ (B.i, Docteur es sciences, Ancien Pro- 

 fesseur de Mathématiques spéciales au Lycée Louis-le- 

 Grand, Inspecteur de l'Académie de Paris. — Cours de 

 Géométrie analytique. Tome III. Géométrie 

 dans l'espace, avec une Note sur les transforma- 

 tions en Géométrie, par Emile Borel, Maître de 

 Conférences à la Faculté des Sciences de Lille. — 1 vol. 

 Hî-8°de572 pagres. {Prix : 12 fr.) Gauthier -Villars et 

 fils, éditeurs. Paris, 1890. 



Le tome III du Cours de M. Niewenglowski ' ren- 

 ferme la Géométrie dans l'espace et une Note de 

 M. Borel sur les transformations enGéométrie. Il contient, 

 de plus, outre les exercices proposera la fin de chaque 

 chapitre et les énoncés des questions de géométrie 

 analytique donnés dans les concours en 1895, une 

 demi-douzaine de notes intéressantes empruntées au 

 cours professé par M. Darboux en 1893-96 et se rap- 

 portant à des questions géométriques particulières, 

 telles que l'homologie, la cubique lieu des foyers des 

 coniques inscrites à un quadrilatère, le théorème de 

 Pascal, etc. 



La géométrie dans l'espace est développée avec une 

 ampleur et uue richesse de détails vraiment inusitées; 

 à elle seule elle tient plus de place (464 pages) que les 

 géométries réunies, à deux et à trois dimensions, des 

 traités d'autrefois. Quant à la note de M. Borel 

 (78 pages), bien que limitée au domaine des mathéma- 

 tiques spéciales, elle constitue une addition d'un prix 

 inestimable. Pour la première fois, nous voyons pa- 

 raître, dans un ouvrage français, une exposition di- 

 dactique abinilio des principes dus à M. Lie; pour la 

 première fois, les méthodes de l'éminent géomètre 

 norvégien sont introduites dans la littérature mathé- 

 matique classique. 



La Géométrie dans l'espace est divisée en 31 chapitres, 

 accompagnés chacun de nombreux exercices. Les 

 cinq premiers chapitres concernent les coordonnées, 

 le plan, la ligne droite, la sphère. Signalons le cha- 

 pitre VI, où l'on étudie les courbes gauches et leurs 

 courbures. Puis vient un chapitre sur les plans tan- 

 gents : les rayons de courbure principaux et la cour- 

 bure moyenne y sont exprimés. Les lieux géomé- 

 triques, la génération des surfaces ou des lignes, les 

 surfaces réglées, les enveloppes occupent les chapitres 

 suivants. Le onzième est consacré aux systèmes de 

 droites, aux complexes, aux congruences, et le dou- 

 zième aux figures homothétiques. On étudie alors la 

 classification des quadriques, la théorie du centre, 

 les plans diamétraux et la réduction de l'équation du 

 second degré. Les pôles et les plans polaires condui- 

 sent aux polaires réciproques, qui permettent l'inter- 

 prétation des coordonnées tangentielles. Viennent en- 

 suite les diamètres conjugués, les cônes du second 

 dei-'ré, les plans tangents et les normales étudiés sur 

 les formes réduites, puis les génératrices rectilignes et 

 les sections circulaires. Les chapitres XXVI, XXVII et 

 XXVIII concernent la discussion d'une équation nu- 

 mérique du second degré, la détermination des qua- 

 driques, leur intersection. Enfin, les focales et les 

 quadriques homofocales, les éléments d'une section 

 plane d'une quadrique font l'objet des deux chapitres 

 suivants, et des notions sommaires sur les quaternions 

 constituent le dernier. L'emploi des deux sortes de 

 caractères pour le texte, les plus petits étant réservés 

 aux questions les plus difficiles, fait que le débutant 



1 Voir les comptes rendus des tomes I et II dans la Revue 

 du 15 mai et du 15 juin 1895. 



ne s'égarera pas dans les mille détails de ces trente et 

 un chapitres. Peut-être regrettera-ton pour lui l'ab- 

 sence de ces monographies de l'ellipsoïde, des hyper - 

 boloïdes, des paraboloïdes, considérés successivement 

 et isolément, que l'on rencontre dans d'autres traités 

 de valeur. Mais il faut reconnaître qu'avec une telle 

 profusion de détails, ce mode de division entraînerait 

 à bien des répétitions. 



Dans sa Note sur les transformations en Géométrie, 

 M. Borel s'inspire des idées de M. Lie qui, en créant 

 sa célèbre théorie des groupes de transformations, à 

 étendu si loin la notion féconde due au génie de Galois. 

 Laissant de côté les transformations qui sont définies 

 seulement pour une courbe ou pour une surface, M. Bo- 

 rel étudie uniquement les transformations définies pour 

 l'espace entier. Après avoir posé les définitions et no- 

 tations primordiales, il se place d'abord au point de 

 vue le plus habituel, qui consiste à regarder l'espace 

 comme forméde points : il considère les transformations 

 ponctuelles, et enpremierlieu le cas particulier impor- 

 tantde l'homographie, qu'il envisage successivement sur 

 la droite, dans le plan etdans l'espace. Les propriétés du 

 groupe projectif et de ses sous-groupes, celles des in- 

 variants d'une figure sont passées en revue, et l'auteur 

 met en évidence l'utilité de l'emploi des transforma- 

 tions de coordonnées pour l'étude des transformations 

 projectives. Les transformations ponctuelles, considé- 

 rées en général, conduisent à l'inversion etaux coor- 

 données pentasphériques, que M. Borel étudie tout 

 particulièrement, en s'aidant des beaux travaux de 

 M. Darboux. On peut concevoirl'espace comme formé de 

 plans, ce qui donne naissance aux transformations 

 tangentielles, par lesquelles un plan correspond à un 

 plan. On peut aussi envisager des transformations 

 mixtes faisant correspondre aux points d'un espace les 

 plans d'un autre espace ; mais ces deux classes peu- 

 vent s'obtenir en combinant avec les transformations 

 ponctuelles une transformation corrélative des plus 

 simples qui n'est autre qu'une transformation par po- 

 laires réciproques. M. Borel étudie ensuite la trans- 

 formation corrélative générale qui. d'ordinaire, n'est 

 pas involutive, mais qui le devient dans deux cas : 

 toute transformation corrélative se ramène à une cer- 

 trine transformation homographique et à une de ces 

 deux transformations spéciales. L'ensemble des trans- 

 formations homographiques et corrélatives forme un 

 groupe qui est étudié. L'auteur développe alors la no- 

 tion fondamentale d'élément de contact due à M. Lie; 

 il en déduit la définition des transformations de con- 

 tact, qui remplacent deux multiplicités tangentes par 

 deux multiplicités pareilles. M. Borel cherche la forme 

 générale des transformations de contact, ce qui fait 

 retrouver en particulier toutes les transformations pré- 

 cédemment étudiées. L'auteur examine enfin la belle 

 transformation de M. Lie, dont M. Darboux a pu dire 

 qu'elle constituait l'une des plus belles découvertes de 

 la Géométrie moderne. Lestransformationsdansl'espace 

 à plus de trois dimensions sont considérées finalement. 

 Ajoutons qu'une quinzaine d'exercices proposés, dont 

 plusieurs sont des applications de la transformation de 

 M. Lie. clôturent de la manière la plus heureuse cette 

 précieuse et substantielle notice. Ecrite dans un style 

 à la fois clair et concis, nous la croyons appelée à un 

 grand succès. 



Tel est dans son ensemble le nouvel ouvrage sorti 

 des presses de MM. Gauthier-Villars. Riche en rensei- 

 gnements de toute sorte, il ne peut manquer d'obtenir 

 la notoriété qu'il mérite. '■■ Floquet, 



P' à la Faculté des Sciences de Nancy. 



