24 L. AUTOx\NE. — TRAVAUX RÉCENTS SUR L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DU I" ORDRE 



un bois l'udimenlaire et encore diflus, mais déjà 

 limité au plérome. 



Les Chalazogames sont donc, à mon sens, un 

 f;roupe plus voisin des Bryophyles que des Cryp- 

 togames vasculaires. Bien loin d'amoindrir la dis- 

 tance qui sépare les Angiospermes des Gymno- 

 spermes, elles feraient supposer que les Gymno- 

 spermes et les Angiospermes ont eu des origines 

 cryptogamiques distinctes; car si les premières dé- 

 rivent clairement des Cryptogames vasculaires, la 

 souche des secondes se confondrait avec celle des 

 Bryophytes, s'il était établi que les Porogames 



ont, avec les Chalazogamcs, plus qu'une ressem- 

 blance superficielle. 



Ces rapides considérations donnent une faible, 

 idée des conséquences immenses qui découlent de 

 la grande découverte des Chalazogames. Je n'ai 

 même pas résumé tous les faits contenus dans le 

 mémoire substantiel de M. Treub, persuadé que 

 tout botaniste trouvera plaisir à étudier l'original, 

 dont la lecture est facilitée par l'adjonction au 

 texte de vingt planches d'une exécution irrépro- 

 chable. Paul VuiDemin. 



Cliof des tra\aux d'IIistoiro Daturcllo 

 à la Facnltt' de Wëdeciue di' Nancy. 



A PROPOS DE QUELQUES TRAVAUX RÉCENTS 

 SUR L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DU PREMIER ORDRE 



Les progrès de l'analyse mathématique sont de 

 nos jours extrêmement rapides : les faits nouveaux 

 s'accumulent, des théories entières surgissent ou 

 se transfigurent presque de mois en mois. Malheu- 

 sement toutes ces découvertes sont disséminées 

 dans d'innombrables mémoires insérés aux re- 

 cueils spéciaux et dont la lecture est souvent diffi- 

 cile, même pour des mathématiciens de profes- 

 sion : tant une préparation particulière est indis- 

 pensable pour chaque théorie. 



Il importe cependant que les algébristes (ne fût- 

 ce que pour l'honneur de leur science) ne laissent 

 pas ignorer au public que les mathématiques 

 pui'es marchent aussi vite que les autres sciences 

 dans le merveilleux essor qui les entraîne toutes 

 aujourd'hui. 



Pour faire juger de l'activité qui règne dans les 

 recherches analytiques, je voudrais donner aux 

 lecteurs de la Revue une idée des nombreux et 

 récents travaux qui se rapportent à une seule théorie 

 particulière. Je choisis à cet effet celle de Véqun- 

 tioii différentielle du premier ordre dont j'ai person- 

 nellement eu occasion de m'occuper. 



I 



Dès la constitution du calcul infinitésimal, on a 

 eu besoin (notamment lorsqu'on cherchait une 

 courbe plane définie par une propriété de la tan- 

 gente) de trouver une fonction y de la variable x, 

 fonction inconnue, mais liée à sa dérivée ij' et à a- 

 par une relation connue : 



f {X, y, y') = (H) 



Le problème de l'intégration de l'équation diffé- 

 rentielle H du premier ordre était ainsi posé. 



La question n'a jamais cessé depuis lors de 

 préoccuper les géomètres; mais pendant longtemps 

 on a, pour 'ainsi dire, tourné autour. On se bornait 

 à étudier des équations très particulières, dont 

 l'intégration élait presque immédiate. Beaucoup de 

 sagacité a été dépensée durant cette période, à la- 

 quelle se rattachent les noms de Bernouilli, Clui- 

 raut, Euler, Riccati et de presque tous les algé- 

 bristes des xvii", xvni' et de la première moitié 

 du xix^ siècle. 



C'est seulement grâce au mouvement de « re- 

 naissance » mathématique inauguré par Cauchy et 

 à l'emploi des imaginaires que le problème fut 

 réellement abordé de front et dans sa généralité. 

 Les i!/t'/«o»'M classiques de Briot et Bouquet {Jour- 

 nal de l' Ecole polytechnique , I80G) et les nombreux 

 travaux plus récents qui s'y rattachent ont posé les 

 véritables fondements de la doctrine. 



Il fallait prouver d'abord que le problème a un 

 sens toujours, autrement dit que l'intégrale in- 

 connue y existe. Briot et Bouciiiet achevèrent 

 cette démonstration commeticée par Cauchy. Ils 

 montrèrent ensuite comment se comporte y pour 

 des valeurs de x, très pou difi'ércnles d'une valeur 

 donnée .ïq; ils construisirent ainsi des fragments 

 d'intégrale. Mais il s'agissait de jeter un pont 

 entre ces fragments et de suivre comment variait 

 y pour une variation quelconque de .7. A la vérité, 

 cela réussit assez à Briot et Bouquet dans le cas 

 où X ne figure pas dans l'équation H, devenue 

 /■(y, y') = 0, mais seulement dans ce cas-là. 



Empressons-nous d'ajouter que cette grosse 

 difficulté n'est pas encore vaincue : dans les tout 

 derniers temps seulement, on semble entrevoir 

 quelques linéaments de la solution. 



A Clebsch appartient le mérite d'avoir rajeuni 



