L. AUTONNE. — TRAVAUX RÉCENTS SUR L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DU I" ORDRE 2c 



la conception ancienne de la courbe intégrale, c'est- 

 à-dire de la courbe pour laquelle x et y sont les 

 coordonnés du point courant, y' le coefficient an- 

 gulaire de la tangente. Clebsch a montré qu'une 

 pareille courbe ne devait pas être considérée seu- 

 lement comme le lieu géouiélrique de ses points 

 successifs, mais aussi comme l'enveloppe de ses 

 tangentes successives. Chacune de ces deux con- 

 ceptions isolée laisse échaiiper certaines courbes 

 qui néanmoins réapparaissent en fin de calcul 

 d'une façon inattendue; ces solutions singulières 

 avaient très longtemps intrigué les géomètres. 



En ce qui concerne l'équation différentielle H du 

 premier ordre et du premier degré [celle où la 

 dérivée y' figure au premier degré), un résultat 

 très important est dû à M. Darboux '. Ce géomètre 

 a montré que pour avoir toutes les solutions en 

 nombre infini, il suffisait de connaître un nombre 

 fini d'équations algébriques entre /y et.r, telles que 

 l'y qu'on eu tire soit une solution de H. 



II 



Cet historique était indispensable pour exposer 

 quel était l'état de la question avant les récentes 

 recherches qui sont venues transfigurer la théorie 

 et mûrir la solution. 



C'est M. Fuchs qui en 1884 est entré dans un 

 nouvel ordre d'idées, où lui-même et ensuite 

 MM. Poincaré et Painlevé ont obtenu les plus im- 

 portants résultats. 



Il n'est pas facile de donner une idée succincte 

 de recherches aussi abstraites et aussi profondes. 

 Je vais néanmoins l'essayer. 



Il y a un nombre infini de fonctions intégrales y 

 de X satisfaisant à l'équation H. Chacune de ces 

 intégrales pour chaque valeur de x possède plu- 

 sieurs valeurs (et même un nombre infini) que l'on 

 peut distinguer de façon à suivre comment la va- 

 leur choisie de y varie avec x. Mais la distinction 

 n'est plus possible pour certains couples de va- 

 leurs de X et de y, ou, comme on dit aussi, pour 

 certains points critiques (de coordonnées x et y). 1! 

 résulte de là que, quoi qu'on fasse, une certaine 

 ambiguïté s'introduit pour l'intégrale considé- 

 rée y. 



Parmi les points critiques, les uns sont Jixes, 

 c'est-à-dire les mêmes pour toutes les intégrales ; 

 les autres sont mobiles, c'est-à-dire changent d'une 

 intégrale à une autre. Ces derniers sont les plus 

 embarrassants, car l'influence des points critiques 

 fixes peut être appréciée par les procédés de Briot 

 et Bouquet. 



' UiiUetiii (Ict: sciciiccii iiiatkéinuliques ISIS. 



Cela étant, MM. Fuchs ' et Poincaré ' ont eu l'i- 

 dée de rechercher ce qui se passe lorsqu'il n'existe 

 pas de points critiques mobiles. En ce cas, de 

 trois choses l'une : 



1" y est lié à x par une équation algébrique et 

 H est ÎJitégrèe algébriquement; 



2" On peut exprimer y' à l'aide d'à seulement et 

 remontera y par l'opération relativement facile de 

 la quadrature; 



3° On est ramené à l'équation bien connue de 

 Riccati, dont toutes les intégrales s'obtiennent 

 par quadrature dès qu'on en connaît une. 



Les choses en étaient là lorsque l'Académie des 

 Sciences de Paris mit au concours pour le grand 

 prix des sciences mathématiques de 1890 précisé- 

 ment le problème qui est l'objet du présent 

 article. Le mémoire de M. Painlevé obtint le prix, 

 le mien la mention honorable. Le premier parut 

 dans les An)H(l(s scientifiques de l'Ecole normale iS9i ; 

 le second moitié dans le Journal de V Ecole polytech- 

 nique, moitié dans les Annales de V Université de 

 Lyon pour celte même année '. 



Le travail de M. Painlevé est la généralisation 

 de ceux de MM. Fuchs et Poincaré. L'influence 

 des points critiques mobiles, dont il vient d'être 

 question, force à attribuer à une intégrale parti- 

 culière // pour un X donné un nombre de valeurs 

 en général infini. M. Painlevé s'est proposé d'exa- 

 miner le cas où ce nombre est fini. Il existe alors 

 une certaine courbe algébrique plane h, dans 

 laquelle se reflètent les propriétés de l'équation 

 diiïérentiellc H. Le genre '' de A a surtout de l'in- 

 fluence sur la nature des intégrales; ainsi, par 

 exemple, si ce genre est supérieur à 1, y est lié à 

 X par une équalion algébrique. 



Je regrette vivement que la profondeur des 

 matières traitées par M. Painlevé ne me permette 

 pas de donner ici une idée, même rapide, des 

 autres importants résultats qui remplissent son 

 travail. Ajoutons qu'il a abordé aussi le pro- 

 blème suivant : reconnaître si les courbes inté- 

 grales de H sont des courbes algébriques de genre 

 donné. 



I Cuiiiptes rendus de l'Acailcinio des sciences do l^crlin, 

 20 juin 1884. 



-Acia mat/iemallca 1885 « sur un théorème de M. Fuclis». 



•' M. Picard, le rapporteur de la commission de l'insti- 

 tnl, a rendu compte du concours à la séance publique do 

 18110. 



* On appelle de;/ré d'une courbe plane (ou gauche) le 

 nombre de points où la conrljc rencontre une droite (ou un 

 plan). Le degré d'une courbe plane étant designé par n et la 

 courbe ayant d jioints doubles, Ricmaun a ajipelé f/enre le 

 nombre ô !" — '») (« — 2) — d. 



Le genre d'une courbe gauche est celui de sa projec- 

 tion . 



La nature intime d'une courbe dépend bien JjIus étroite- 

 ment du genre que du degré. 



