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BIBLIOGRAPHIE. — ANALYSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques. 



Picard (Emile) de flnstitiit. — Traité d'Analyse. — 

 To7ne I : Intégrales aimples et multiples. L'i'qiuiiion de 

 Laplace et ses appliculions. Développement en séries du 

 calcul infinitésimal. Un vol. gr. in-i° (io fr.). Gauthier- 

 Yillai's et fils, oii, quaides Grands-Auguslins, Paris. 1891 . 



Ce livre est la première partie d'un ouvrage considé- 

 rable où sera exposée, avec tous les développements 

 qu'elle comporte, la théorie des équations diflërentielles 

 à une ou plusieurs variables. L'auteur nous avertit 

 dans sa préface qu'il s'est décidé à consacrer un vo- 

 lume préliminaire aux éléments du calcul intégral 

 pour n'exiger de ses lecteurs aucune connaissance qui 

 dépasse le programme des mathématiques spéciales. 

 Mais que les lecteurs plus érudits n'aillent pas trop se 

 fier à la modestie de ces indications et négliger d'ou- 

 vrir le premier volume en attendant le second ! Si ce 

 livre en effet, grâce à son extrême lucidité, est à la portée 

 de tous, il n'en constitue pas moins une introduction 

 complète aux théories les plus savantes de l'Analyse. 



Ou ne saurait nier qu'il existât dans notre enseigne- 

 ment matliématique une véritable lacune que le nou- 

 veau livre de M. Picard vient heureusement combler. 

 Tous ceux qui sont au courant des études scientifiques 

 en France savent les difllcullés que rencontre un dé- 

 butant quand il aborde, au sortir d'un cours de calcul 

 intégral, la théorie des fonctions ou les théories de la 

 physique mathématique. Si sa mémoire est riche en 

 artifices d'intégration, des notions fondamentales lui 

 sont inconnues ou peu familières (notions d'inté- 

 grales curvilignes ou de surface, de différentielle 

 totale, etc.). Il semble qu'une vieille tradition ait 

 rangé les principes du calcul intégral en deux caté- 

 gories, l'une à l'usage des étudiants, l'autre à l'usage 

 des savants : la première, tout élémentaire, est seule 

 l'objet d'un enseignement, d'ailleurs largement déve- 

 loppé; la seconde, où r.A.nalyse puise ses meilleures 

 ressources, est passée sons silence. Il arrive ainsi que 

 des théories rencontrées dans une science d'application 

 dépassent sur bien des points le niveau des études de 

 pures malliématiques. — Exposer systématiquement 

 les méthodes qui se rattachent à la notion fondamen- 

 tale d'inli'gration et auxquelles a recouis l'.Vnalyse, 

 illustrer leur utilité et leur emploi on développant, à 

 titre d'exemples, quelques-unes de leurs applications 

 les plus importantes, tel est le but et telle est la marche 

 du livre de M. Picard. 



C'est par la définition de l'intégrale simple que 

 s'ouvre le volume. Dès ce premier chapitre se manifeste 

 la tendance constante de l'auteur, qui est do laisser aux 

 idées générales et vraiment fécondes leur importance 

 naturelle, de ne les sacrifier jamais aux minuties, aux 

 singularités de détail. Sans doute, il est difficile, dans ces 

 débuts, d'accorderla concision avec larigueur, de n'énon- 

 cer que des vérités nettes et précises sans hérisser les rai- 

 sonnements de précautions épineuses. La chose en tout 

 cas est possible : pour s'en convaincre, il suffit de lire, par 

 exemple, les paragraphes où se trouvent traitées la difîé- 



rentiation sous le sig 



-f 



et l'intéeralion d'une fonc- 



tion qui devient infinie. — Le même souci de mettre 

 en évidence les idées générales n'apparaît pas moins 

 nettement dans le second chapitre : l'intégration des 

 fonctions rationnelles en x ou en sin x et cos ,t, la ré- 

 duction des difl'érenlielles algébriques y sont effectuées 

 à l'aide de procédés uniformes, sans l'intervention d'au- 

 cun artifice. Peut-être s'aperçoit-on alors que les métho 



des les plus naturelles ne sont pas les moins simples. 

 Ces éléments acquis, l'auteur aborde immédiate- 

 ment la théorie des intégrales curvilignes. Tous les 

 points importants de cette théorie sont mis en pleine 

 lumière : conditions pour qu'une intégrale curviligne 



P d.r J- Q dij ne dépende que de ses limites, pro- 

 priétés d'une telle intégrale considérée comme fonc- 

 tion de sa limite supérieure, etc. Des exemples d'inté- 

 grales curvilignes calculées le long d'un contour fermé 

 terminent cette étude. Le chapitre suivant est consacré 

 aux intégrales doubles (définition, changement de 



f 



variables sous 



le signe / / , applications élémen- 



taires, etc.) et aux intégrales de surfaces ; les propriétés 

 de ces intégrales, analogues aux propriétés des inté- 

 grales curvilignes, sont élucidées avec le même soin : 

 conditions pour qu'une intégrale de surface ne dépende 

 que de la courbe limite, expression d'une telle inté- 

 grale en fonction d'une intégrale simple parla formule 

 de Stokes, etc. Les applications traitées à la fin de ces 

 deux chapitres conduisent à la démonstration du théo- 

 rème de M. Kroneker sur le nombre de points com- 

 muns à deux courbes planes (ou à trois surfaces) que 

 renferme un contour (ou une surface) fermé. Le théo- 

 rème de Kroneker ne suffit pas d'ailleurs à déterminer 

 ce nombre en général, et M. Picard appelait sur ce 

 sujet de nouvelles recherches; mais il a lui-même, dans 

 une Note récente, résolu complètement la question. 



Une rapide étude des intégrales multiples termine 

 cette première partie du livre, et renferme, en outre des 

 propositions fondamentales de cett; théorie, une dis- 

 cussion détaillée du. cas où la fonction devient infinie 

 et indéterminée et les formules usuelles relatives aux 

 intégrales triples, telles que la formule de Green, dont 

 on connaît l'importance. 



Au lieu d'appliquer ces généralités à des exemples 

 sans intérêt, l'auteur a cru plus rationnel de dévelop- 

 per une des plus importantes théories auxquelles le 

 secours de ces généralités est indispensable, je veux 

 dire la théorie de l'équation de Laplace et du poten- 

 tiel. En 80 pages d'une merveilleuse simplicité, l'auteur 

 a su rassembler tout ce qu'il y a d'essentiel dans cette 

 théorie si vaste, sans négliger les découvertes les plus 

 récentes, telles que le théorème de M. Bertrand sur 

 l'attraction d'une couche superficielle, la méthode de 

 M. Robin pour la recherche d'une couche sans action 

 sur un point intérieur. Nous signalerons notamment le 

 lumineux exposé de la méthode de Cari Neumann pour 

 résoudre le problème de Dirichlet quand la surface est 

 convexe et sans points singuliers. — On peut dire que les 

 cinq chapitres relatifs aux intégrales curvilignes etmul- 

 tiples, à l'équation de Laplace et à l'attraction forment 

 un ciief-d'œuvre d'introduction à la physique mathé- 

 mathique. 



Par l'intégrale de Laplace (et l'intégrale analogue de 

 Poisson), les théories qui précèdent se relient naturel- 

 lement à l'étude des développements en séries. 



L'auteur commence par établir les règles d'intégra- 

 tion d'une série, en introduisant la notion de conver- 

 gence uniforme, et envisage ensuite à titre d'applications 

 les séries ordoimôes suivant les puissances d'une varia- 

 ble, puis les séries trigonoméiriques, dont la théorie 

 remplit un des chapiires les plus remarquables du 

 livre. La possibilité de développer une fonction en série 

 de Fourier, la convergence uniforme du développement 

 sont établies d'api'ès la méthode de Dirichlet; mais il 

 convient d'attirer surtout l'attention snr la démonstra- 



