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HIBLIOGUAPinE. - ANALYSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



l" Sciences mathématiques. 



Halphen. — Traité des fonctions elliptiques et 

 de leurs applications. Troi^icmc partie. FrfUjmrnls. 

 1 vol. in-S"; x\i--272 p. [H fr. SO). Gaiilhin-Vilhm 

 cl fils, Paris, 1891. 



On sait que la moit a fiiiprcliô Halphen de nietlre la 

 dernière main au .i;rand Traite des fonctions ciliplicjiics 

 qu'il avait entrepris. Deux volumes sont complets : le 

 premier contient un exposé de la théorie de ces fgnc- 

 llons, avec les notations de M. Weierstrass : le second 

 volume contient d'admirables applications à la méca- 

 nique et à la géométrie, dues en firande partie à Hal- 

 phen lui-même, ou renouvelées par lui. Le troisième 

 volume où se a serait déployé dans tout son éclat le 

 lalent d'Halphen, rompu aux problèmes les plus abs- 

 traits de l'algèbre ' ■•, était eu quelque sorte attendu 

 avec un désir particulier. 11 devait contenir les belles 

 et difficiles applications à l'algèbre et à la théorie des 

 nombres. Depuis longtemps, Halphen avait dirigé ses 

 efforts de ce côté et l'effrayant travail auquel il s'élait 

 obligé pour mener sa tâche à bien n'a peut-être pas 

 été étranger au dénouement fatal de la maladie qui 

 l'a enlevé dans tout l'éclat de son lalent. Il avait accu- 

 mulé, pour ce troisième volume, une foule de notes, 

 dont quelques-unes étaient entièrement rédigées. C'est 

 de là d'où est sorti ce volume, incomplet sans doute, 

 mais dont la richesse étonnera assurément ceux qui le 

 liront. Ils s'y rendront compte de la manière de tra- 

 vailler d'Halphen, de son goût pour les choses précises 

 et terminées, de sa façon de pénétrer dans les ques- 

 tions jusqu'au roc, de son talent pour voir et montrer 

 le ijéncral dans les problèmes iiarliculiers qu'il traitait. 



La section de géométrie de l'/Vcadémie des Sciences 

 à laquelle Mme Halphen avait confié les manuscrits de 

 son mari, chargea M. Stieltjes de trier, de classer les 

 notes relatives aux fonctions elliptiques et d'en rendre 

 la publication intelligible. Le savant professeur à la 

 Faculté de Toulouse s'est acquitté de sa tàclie avec un 

 soin et un dévouement admirables : il aurait cerlai- 

 nement été en mesure de reconstituer l'œuvre d'Hal- 

 phen, et quelques-uns regretteront qu'il ne l'ait pas 

 fait. C'est une œuvre impersonnelle qu'il a accomplie, 

 une de ces tâches que l'on qualifie d'ingrates, mais qui 

 n'effraient pas les esprits généreux. Celle-là, d'ailleurs, 

 lui vaudra la reconnaissance de tous les géomètres. 



Deux chapitres placés en tête du volume auraient 

 sans doute llguré sans grandes modifications dans la 

 rédaction détinilive. Le premier se rapporte à la di- 

 vision d'une période par ciii([, pour la fomiion 

 p (w, w, (o<); en posant 



(t . "-"[t)' 



Halphen parvient, par un calcul très simple, aux 

 équations du sixième degré, f|ui ont pour racines res- 

 pectivement a + h, ab, {a h)- 



Les relations cuire les racines de chacune de ces 

 équations sont étudiées avec détail : ces relations ma- 

 nifestent l'exislence d'une résolvante du cinquième 

 degré, et l'étude des racines de cette résolvante mène 

 à la résolulion de TéqualidU générale du cinquième 

 degré. 



Le chapitre suivant contient une étude détaillée de 

 la division par sept de l'une des périodes et les pro- 

 positions générales relatives à la division des périodes 



1 Picard (E.) : Xolici' xin- ïlalphen. 



I par un nombre premier n. Les belles propriéte's algé- 

 briques de l'équation du (n + d)i*"« degré, dont le pro- 



1 blême dépend, sont exposées d'une façon lumineuse. 



I L'auteur revient ensuite au cas particulier de n = 7 

 pour former explicitement une des résolvantes du sep- 

 tième degré; c'est l'étude de cette résolvante qui ter- 

 mine le second chapitre, et c'est là qu'apparaissent 

 dans la rédaction les premières lacunes. 



Le reste de l'ouvrage contient des « Fragmenis 

 divers ;>. Le plus important et le plus complet se rap- 

 porte à ce problème de la multiplication complexe 

 dans les fonctions elliptiques, qu'Abel a posé, auquel 

 .M.\L Hermite et Kronecker ont apporté une si riche 

 coniribution, et qui, plus que tous autres ]ieut-ètie, 

 montre les liens intimes de l'arithniétique et de la 

 théorie des fonctions elliptiques. Le travail d'Halphen, 

 qui d'ailleurs a paru dans le Journal de Mathémnliqi(es 

 pures et appliipices (4« série, T. V; 1889) concerne la 

 multiplication par V — 23; il comprend d'ailleurs un 

 exposé général du problème et des méthodes qui per- 

 mettent de le traiter : celle sur laquelle Halphen attire 

 particulièrement l'attention est directe et ramène à 

 une élimination algébrique la recherche du module des 

 fonctions elliptiques à multiplicateur complexe : elle 



est appliquée au cas de la multiplication par \' — ^3 

 de façon à pousser le problème jusqu'au bout. 



Le second fragment intitulé « Parties aliquoles des 

 périodes », complète ce qui a été dit dans les cha- 

 pitres I" et II sur la division des périodes. Halphen y 

 expose la décomposition en groupes des arguments 



2rt,) + 2)-'w' 



AVjj ^ . 



n 



et étudie la décomposition correspondante de l'équa- 

 tion algébrique dont dépendent les quantitésp (W„). 



Enfin, le volume se termine par des fragments très 

 précieux sur la théorie de la transformation. Si lisibles 

 que soient ces fragments, grâce sans doute aux soins 

 qu'a pris M. Stieltjes, ils échappent, par leur nature, à 

 une analyse succincte. 



Il Ces quelques pages, où l'illustre géomètre a laissé 

 ses dernières pensées, seront accueillies par les amis 

 d'Halphen et les admirateurs de son talent avec les 

 sentiments de tristesse et de regrets que nous laisse à 

 jamais sa mort prématurée. » 



Nous ne pouvons mieux terminer qu'en citant ces 

 lignes où les éditeurs ont laissé voir la profondeur de 

 leur émotion. Tous ceux qui aiment la science seront 

 reconnaissants à MM. Cauthier-Villars de nous avoir 

 donné ce volume, tel qu'il est, et rendront hommage 

 au dévouement de M. Stieltjes, à la piété de Mme Hal- 

 phen. 



.1. Tan.xerv. 



^Vel>er (H.). — EUiptische Functionen und alge- 



braische Zahlen. 1 roi. in-S", xui-;)04p. Viciceg und 



Sohn. Brawiscluceig, 1891. 



Dans sa Préface, l'auteur a mis quelques lignes tou- 

 chantes sur l'émulation qu'il ressentait, alors qu'il 

 composait son livre, en pensant qu'il travaillait la 

 même matière qu'Halphen et sur la surprise doulou- 

 reuse qu'il éprouva en apprenant la mort de ce der- 

 nier. Tout le monde saura gré à M. Weber de la façon 

 dont il a parlé d'un homme qui occupait dans la science 

 française une place si haute et si particulière. 



C'est en effet les applications à l'algèbre et à Tarith- 

 métique, auxquelles devrait être consacré le troisième 

 volume d'ibilphcn, (iiic M. Weber avait en vue ([uand 



