BIBLIOGRAPHIE. — ANALYSES ET INDEX 



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BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques. 



I»oiiieai-é [H.). Mciiilin' de riiislitiit. — Les méthodes 

 nouvelles de la Mécanique céleste. Tumc I, un i:ol . 

 in-H" ik'iS'i paije:i.{Pri,c : ^2. f runes). Gatdhici-Villar^ ti 

 fils, éditeurs, o^, quai des GrandsAugustins, Paris, 1892. 



De tous les grands problèmes soulevés par la décou- 

 verte de la gravitation, le problème des trois corps est 

 celui qui a causé le plus de soucis aux géomètres et 

 devant lequel sont venus se briser le plus d'efforts. 

 Aussi, la publication d'un ouvrage consacré à ce sujet 

 prend-elle l'importance d'un gros événement scienti- 

 lique. lorsque l'autorité de l'auteur repose sur une 

 œuvre déjà considérable. 



Armant les chercheurs d'instruments perfectionnés, 

 leur ouvrant un vaste champ d'exploration, le livre de 

 M. Poincaré s'adresse aux géomètres et aux astronomes, 

 qui y trouveront des résultats fort importants con- 

 cernant le problème des trois corps et l'exposé des 

 méthodes destinées à transformer l'outillage mathé- 

 matique en usage depuis la fondation de la mécanique 

 céleste. 



Initier le lecteur aux procédés d'approximation 

 récemment proposés en vue d'obtenir des développe- 

 ments exempts de termes séculaires dont l'emploi s'im- 

 pose surtout dans la théorie des satellites; étendre au 

 cas général du pi'oblème des trois corps les conclu- 

 sions de son célèbre mémoire couronné à Stockolm : 

 tel est le but que M. Poincaré s'est proposé en écri- 

 vant son ouvrage sur les méthodes nouvelles de la méca- 

 nique céleste. 



Grâce aux facilités qu'elles prêtent aux recherches 

 théoriques, les équations canoniques d'Hamilton et de 

 Jacobi ont délînitivement pris place, au premier rang, 

 parmi les instruments d'investigation dont dispose la 

 science. Elles jouent un rôle exclusif dans les travaux 

 de Delaunay ; M. Tisserand en a fait la base de son 

 grand ouvrage; on les rencontre à tout instant sous la 

 plume de M. Poincaré. Le volume s'ouvre par un exposé 

 sommaire de leurs propriétés ; application en est faite 

 au mouvement képlérien. Viennent ensuite la mise en 

 équation du problème des trois corps et la réduction 

 du nombre des variables indépendantes au moyen des 

 intégrales connues. 



Le second chapitre traite de l'intégration par les 

 séries. Le théorème de Cauchy, relatif à l'existence des 

 intégrales des équations dinérentielles, y reçoit une 

 grande extension. On y trouve aussi le résumé des 

 travaux récents sur les équations diflérentielles li- 

 néaires ;ï coefficients périodiques, qui jouent un rôle 

 capital dans la suite de l'ouvrage. 



Le premier champ d'études de M. Poincaré concerne 

 la recherche des solutions particulières périodiques du 

 problème des trois corps, dans le cas très important 

 où, relativement à un corps central, les autres ont des 

 masses très petites. 



L'idée maîtresse consiste à partir d'un mouvement 

 périodique résultant des circonstances simples, pour 

 arriver ensuite, par voie de continuité, à des conditions 

 plus complexes. 11 fallait, pour réussir, les ressources 

 analytiques dont tous les travaux de M. Poincaré con- 

 servent l'empreinte et qui fout honneur à l'inépuisable 

 fécondité de son talent. Par leur souplesse et leur géné- 

 ralité, les méthodes que l'auteur a développées, en vue 

 des grands problèmes de l'astronomie, serviront d'ail- 

 leurs à résoudre de nombreuses questions de dyna- 

 mique. Elles constituent une introduction magistrale à 

 l'étude analytique de tous les phénomènes sensiblement 

 périodiques. 



Les conclusions du chapitre lll se résument comme 

 il suit : Lors(jue les conditions initiales du mouvement 

 sont convenables, le problème des trois corps admet 

 des solutions périodiques. Ces solutions sont représen- 

 tées par des développements convergents dont on peut 

 calculer les coefficients, une fois leur existence établie. 



Voici comment M. Poincaré s'est exprimé à l'égard de 

 leur application à l'astronomie : « Les oolutions périodi- 

 ques semblent d'abord sans aucun intérêt dans la prati- 

 que. Laprobabili té pour que les circonstances initiales du 

 mouvement soientprécisément celles qui correspondent 

 à une pareille solution est évidemment nulle. .Mais il 

 peut très bien arriver qu'elles en diffèreril fort peu ; 

 la solution périodique pourra jouer alors le rôle de 

 première approximation. » M. Hill, dans la théorie 

 de la Lune, M. Tisserand, dans celle d'Hypérion, ont 

 déjà montré quel parti la science peut tirer de l'em- 

 ploi de ces solutions particulières du problème des trois 

 corps. 



Lorsque, en s'appuyant sur l'idée de continuité, on veut 

 passer d'une solution particulière périodique aux solu- 

 tions qui en diffèrent très peu, on est amené à l'intégra- 

 tion d'un système d'équations différentielles linéaires à 

 coefficients périodiques (chap. IV). La considération 

 de certains exposants « exposants caractéristiques », ana- 

 logues à ceux que l'on rencontre dans l'intégration des 

 équations différentielles linéaires à coefficients cons- 

 tants, joue un rôle essentiel. Leur expression purement 

 imaginaire, ou imaginaire avec une partie réelle, est 

 intimement liée à la nature du problème. Dans le pre- 

 mier cas, la solution est dite stable. Dans le second cas, 

 il y a instabilité; la solution ne reste pas toujours 

 aussi voisine qu'on le veut d'une solution périodique, 

 bien qu'elle tende à se confondre avec elle dans l'avenir 

 ou le passé, suivant le signe de la partie réelle de l'ex- 

 posant. 



Comme application, M. Poincaré a traité spécialement 

 le cas où le mouvement ayant lieu dans un plan, l'une 

 des petites masses est nulle, et l'autre décrit une orbite 

 circulaire autour du corps central ; c'est le problème 

 restreint. 



Les équations difTérentielles du pi-oblème des trois 

 corps admettent un certain nombre d'intégrales algé- 

 briques. Ce sont celle du mouvement du centre de 

 gravité, celles des aires, celle des forces vives. En existe- 

 t-il d'autres? La réponse à cette question difficile fait 

 l'objet du chapitre V. L'auteur rappelle les résultats de 

 M. Bruns concernant la non-existence de nouvelles 

 intégrales algébriques. Il les complète par cette belle 

 proposition ; les équations diflérentielles du problème 

 des trois corps n'admettent, comme intégrales uni- 

 formes, que les intégrales connues. 



La démonstration complète nécessite la connaissance 

 des valeurs approchées des coefficients de termes éloi- 

 gnés du développement de la fonction perturbatrice. 

 M. Poincaré obtient celte évaluation en mettant à profit 

 un beau mémoire de M. Darboux sur l'approximation 

 des fonctions de très grands nombres. C'est là une 

 question de la plus haute importance, pour le calcul 

 des inégalités à longue période, que Hausen a déclaré 

 constituerla plus grosse difficulté de la Ihéoriede la lune. 



Ce beau volume se termine par l'étude des solutions 

 asymptotiques dont la propriété caractéristique est de 

 se rapprocher ou de s'éloigner indéfiniment des solu- 

 tions périodiques (chap. VII). Les développements qui 

 les représentent, sans être toujours convergents, peu- 

 vent néanmoins servir aux applications numériques, au 

 même titre que la série de Stirling. 



Maurice H.^my. 



