niBLIOGRAPHIK. — ANALYSES ET INDEX 



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BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques. 



Schapîr-a (D' Hermann), Professeur à rUniversilc de 

 Heidelherij. — Théorie derallgemeinerCofunctionen 

 und einige ihrer Anwendungen (Théorie iieitrnilr 

 des eofonctluns et quch/iies-iiiies de leurs applieations}, 

 tome I, premier fascicule de la seconde partie. I'}/ 

 vol. in-S" de 22'i- p. (7 fr. bO). Teuhner, éditeur: 

 Leipzig, 1892. 



M. Schapira prend pour point de départ la remarque 

 suivante : si plusieurs fondions transcendantes sont 

 liées par des relations al;;i'briques, ou, s'il eu est de 

 même de divers arf^nnients pour une même l'onc- 

 tion, on peut ne pas considérer ces fonctions comme 

 essentiellement distinctes : elles appartiennent à un 

 même domaine de transcendance. Ce "sont desecofonc 

 tiens n aux termes de l'auteur. Ainsi sin x et cos x 

 sont des cofonctions ; ainsi encore sin x, sin a,x, 



sin a2X, sontdes cofonctions, les a étant des racine^ 



d'une même équation algébrique, à coelficients cons- 

 tants. 



Cette remarque est en elle-même ingénieuse et pro- 

 fonde, mais elle n'est pas nouvelle. Du reste, l'auteur 

 ne la donne pas pour telle. 11 est facile de citer dans 

 la science des travaux considérables issus de vues 

 analogues. Telles sont par exemple les recherches de 

 Galois, de MM. Jordan, Kronecker, sur l'irrationa- 

 lité algébrique. Sont rangés là dans un même domaine 

 d'irrationalité les nombres qui deviennent rationnels, 

 lorsqu'on prend pour rationnelles par définition, 

 lorsqu'on « s'adjoint », suivant 1 expression consacrée, 

 une ou plusieurs racines d'une équation algébrique 

 donnée. Citons encore les travaux d'Halphen sur le 

 profit que l'on peut tirer pour l'intégration d'une 

 équation différentielle linéaire de relations algébriques 

 connues entre des intégrales d'ailleurs inconnues. Ces 

 intégrales seraient des '< cofonctions ». 



L'ouvrage que nous analysons est annoncé comme 

 un exposé systématique soit de résultats déjà publiés, 

 soit de résultats nouveaux. Les théories qui auraient 

 profité des procédés de l'auteur seraient celles des fonc- 

 tions algébriques, des équations différentielles, de 

 l'arithmétique supérieure. 



Tout cela promet d'être fort intéressant, mais le 

 lecteur n'est pas encore en état d'en juger commodé- 

 ment. 



D'abord l'ouvrage débute par le premier fascfcule de 

 la seconde partie du tome I, par une huitième section. 

 Le reste du tome I est annoncé pour la lin de l'année 

 courante. Il semble que l'auteur ait voulu aller au plus 

 pressé et se soit hâté de justifier l'importance de sa 

 méthode en publiant tout d'abord des résultats obtenus 

 sur des champs inexplorés. 



Ensuite, dans sa préface, M. Schapira exprime le 

 regret de n'avoir pu encore amener ses théories à la 

 perfection voulue, en élaguant les complications inu- 

 tiles de notations et de raisonnements; il présente 

 son travail surtout comme une ébauche, où l'idée fon- 

 damentale, le « kerngedanke », importe seule. Le lec- 

 teur est forcé de reconnaître qu'une pareille précau- 

 tion oratoire n'est pas superilue. 



Quoi qu'il en soit, voici ce que l'on trouvera dans le 

 fascicule paru : M. Schapira s'occupe de développer en 

 série, aux abords d'un point du plan, les racines d'une 

 équation algébrique à coefficients variables.il recherche 

 surtout les relations entre les développements des 

 diverses racines d'une même équation. 



Après les innombrables travaux dont les fonctions 

 algébriques ont été l'objet, la loni-'ueur des calculs est 



dans la matière la seule difficulté, à la vérité considé- 

 rable. .M. Schapira essaie d'en triompher en introdui- 

 sant des notations convenables et des algorithmes, 

 dont chacun représente toute une longue opération. 

 D'importants résultats sont promis pour le second 

 volume. 



Les critiques que nous nous permettons portent, on 

 le voit, non sur le fond, mais sur le mode d'exposition 

 et de publication. A part cola, l'œuvre annoncée de 

 M. Schapira, qu'on ne peut apprécier sur un fascicule 

 d'attente, ne paraît devoir manquer ni d'intérêt ni 

 d'importance. La publication de l'ouvrage complet 

 mettra les mathématiciens à même d'en juger. 



Léon AuTON.NF.. 



.^ppell (P.), Professeur de Mi'caniqiie rationnelle à la 

 Facilite des Sciences île Paris. — Sur des équations 

 diflFérentielles linéaire.s transformables en elles- 

 mêmes par un changement de fonction et de 

 variable. {Acta Matheniatica, tume 15.) 



On sait, depuis les travaux de M. Kœnigs, que les 

 propriétés des équations fonctionnelles de la forme 

 f\^{z)\=^\f{z)] 



dépendent essentiellement d'une fonction fondamen- 

 tale, que M. Kœnigs désigne par la notation B(:), et 

 qui satisfait à l'équation 



(I) B\f{:)] = aB(z) 



Cette fonction et ses puissances donnent d'ailleurs 

 la solution la plus générale de l'équation (1), sous cer- 

 taines conditions de régularité. 



Ces remarques ont permis à M. Appell d'étudier les 

 équations différentielles linéaires qui ne changent pas 

 de forme par le changementdeien 9 (:), pourvu qu'en 

 même temps on multiplie la fonction cherchée par un 

 facteur convenable. 



Soit, par exemple, l'équation 



(2) 



d-u 



— -uf(z)-0 



Elle ne changera pas quand on remplacera z par 9 (;) 



et a par u \f'{z), si les fonctions f elf sont liées par 

 la relation 



/'l9(=)l = — /■(=) + 



p" - 3, 



4(p'* 



M. Appell, se donnant la fonction ? (z), résout cette 

 équation par rapport à f (i). 



En étudiant alors les intégrales (supposées régulières 

 au point de vue de la théorie des fonctions), on recon- 

 naît qu'elles s'expriment à l'aide de la fonction B (z) et 

 de ses dérivées, et qu'il en est de même de f. 



On en déduit l'intégration complète de l'équation (2) 

 et, de plus, qu'elle admet une infinité de transforma- 

 tions de la même forme, puisqu'elle est définie quand 

 on se donne B(:) et qu'à une fonction B(;) correspon- 

 dent une infinité de fonctions ?, ainsi que l'a montré 

 M. Kœnigs. 



Enfin on peut en conclure que, par un changement 

 de variables convenable, on arrive à transformer l'équa- 

 tion donnée en une équation à coefficients constants. 



Ces théorèmes, et particulièrement le dernier, s'éten- 

 dent d'ailleurs aux équations d'ordre supérieur. 



M. Appell parvient, comme on le voit, à des résultats 

 tort remarquables, étant donné la simplicité de l'hypo- 

 thèse qui sert de point de départ. 



J. HAtJ,\M.\RD. 



