728 E. PICARD. - A PROPOS DE QUELQUES RÉCENTS TRAVAUX MATHÉMATIQUES 



fait d'admettre un groupe de transformations ré- 

 duit, pour une équation différentielle, la difficulté 

 de l'intégration, et on peut rattacher aux théories 

 du géomètre norwégien la plupart des cas élémen- 

 taires connus. A un point de vue plus profond, la 

 Ihéorie des groupes infinis paraît extrêmement im- 

 portante pour l'étude des équations différentielles 

 et il semble que, dans cette voie, les recherches 

 promettent d'être fécondes. Ainsi M. Lie montre 

 qu'une équation différentielle ordinaire d'ordre 

 quelconque possède des invariants relativement à 

 toute transformation de points. Les invariants con- 

 sidérés autrefois par Laguerre et Halphen dans 

 la théorie des équations linéaires forment, pour 

 une transformation de points particulière, un bien 

 remarquable exemple ; il en est de même des inva- 

 riants considérés par M. Appell et par M. Roger 

 Liouvillc. Voici un genre d'applications fort inté- 

 ressantes, auxquelles conduit la conception géné- 

 rale de M. Lie. Halphen, dans un mémoire célèbre, 

 a trouvé les conditions pour qu'une équation 

 différentielle linéaire puisse être ramenée à une 

 équation linéaire intégrable. Ce problème peut s'é- 

 tendre à une équation non linéaire d'ordre quel- 

 conque; on peut cherchera quelles conditions une 

 telle équation sera, par une transformation ponc- 

 tuelle ou par une transformation de contact, ré- 

 ductible aune équation intégrable d'un type donné. 



Parmi des applications d'une nature un peu 

 différente, je citerai une thèse fort remarquable de 

 M. Vessiot. J'avais, il y a quelques années, indiqué 

 comment on pourrait étendre aux équations diffé- 

 rentielles linéaires la théorie célèbre de Galois re- 

 lative auxéquations algébriques : à chaque équation 

 linéaire on peut faire correspondre un groupe de 

 transformations linéaire et homogène, qui est 

 l'analogue du groupe de Galois pour les équations 

 algébriques. M. Vessiot a développé complètement 

 la théorie que je n'avais qu'esquissée, et parmi les 

 applications qu'il en a faites, une des plus élégantes 

 est la recherche des conditions pour qu'une équa- 

 tion linéaire s'intègre par quadratures; c'est le 

 problème analogue à celui des équations algé- 

 briques résolubles par radicaux. 



On voit que les travaux de M. Lie sont venus ra- 

 jeunir singulièrement ce que l'on pourrait appeler 

 l'ancienne théorie des équations différentielles. Ils 

 ne peuvent, par leur nature même, conduire à des 

 cas d'intégrations essentiellement nouveaux, puis- 

 qu'ils ont principalement pour objets des questions 

 de transformations. Pour avoir des cas vraiment 

 nouveaux, il est manifestement indispensable d'in- 

 troduire des transcendantes nouvelles. La théorie 

 des fonctions analytiques a fait naître à ce sujet 

 les plus grandes espérances, et celles-ci ont été 

 tout à fait justifiées en ce qui regarde les équations 



linéaires. Il n'en a pas été tout à fait de même 

 jusqu'ici pour les équations non linéaires; dans 

 cette voie ce sont les résultats négatifs qui ont 

 été les plus saillants. Il en est parmi eux d'ex- 

 trêmement intéressants. Ainsi, l'attention ayant 

 été appelée par M. Fuchs sur les équations algé- 

 briques du premier ordre à points critiques fixes, 

 M. Poincaré a montré qu'on pouvait ramener ce 

 cas à des quadratures ou à une équation de Ric- 

 cati. Dans un remarquable mémoire couronné il y 

 a deux ans par l'Académie des Sciences, M. Pain- 

 levé a notablement étendu ces résultats, en con- 

 sidérant les équations du premier ordre dont les 

 intégrales n'ont qu'un nombre limité de valeurs 

 autour de l'ensemble des points critiques mobiles. 

 Une des conclusions de ses recherches est que 

 l'intégrale supposée transcendante, de toute équa- 

 tion algébrique du premier ordre, qui satisfait à 

 la condition précédente, est une fonction algé- 

 brique de l'intégrale d'une équation deRiccati dont 

 les coefficients dépendent algébriquement de ceux 

 de l'équation donnée. On est donc assuré de ne pas 

 obtenir par cette voie de transcendantes nouvelles; 

 il faudra s'adresser aux équations d'ordre supé- 

 rieur dont l'étude, au point de vue qui nous occupe, 

 présente encore des difficultés considérables qui 

 ne seront pas sans doute levées de sitôt. 



Abordons maintenant une autre direction dans 

 laquelle tend à se développer aujourd'hui la théorie 

 des équations ditférentielles. Le désir bien naturel 

 d'appliquer à ces équations les résultats obtenus 

 par Cauchy dans la théorie des fonctions d'une va- 

 riable complexe semblait avoir fait presque com- 

 plètement oublier le cas où les variables et les 

 fonctions restent réelles. C'est M. Poincaré qui, 

 par une suite de brillants travaux, appela de nou- 

 veau l'attention sur des études si importantes pour 

 les applications. L'élude des courbes définies par 

 les équations différentielles offre un intérêt de pre- 

 mier ordre : de la connaissance générale de la 

 forme de ces courbes résultent les conséquences 

 essentielles pour le problème que l'on traite, qu'il 

 s'agisse de géométrie ou de mécanique. 11 est ma- 

 nifeste, par exemple, que le problème des trois 

 corps en Mécanique céleste pourrait être regarde 

 comme résolu si l'on pouvait obtenir une connais- 

 sance générale de la forme des courbes trajec- 

 toires. Bornons-nous à un cas très simple qui 

 montrera suffisamment l'objet des recherches de 

 ce genre. Soit une équation du premier ordre de 



la forme : 



dx dy 



"x ~ T 



X et Y étant des polyrtômes en x et y. M. Poincaré 

 commence par faire l'étude des points singuliers 

 de l'équation difl'érentielle. Ceux-ci sont en général 



