810 H. POINCARÉ. - LES FORMES D'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION 



tait habitué à regarder comme évident que toutes 

 les formes d'équilibre devaient être des surfaces 

 de révolution. 11 n'y a aucune raison pour cela, et 

 cette évidence apparente était vaine. L'exemple 

 n'est d'ailleurs pas rare dans les annales de la 

 science et ce n'est pas là le premier fantôme de ce 

 genre qu'on ait vu se dissiper ainsi. 



Certaines personnes ont voulu expliquer de la 

 sorte la variabilité de certaines étoiles à courte pé- 

 riode. Si ces astres ont la forme d'ellipsoïdes de 

 Jacobi, ils se présentent h nous tantôt par le grand 

 axe, tantôt par l'axe moyen et leur surface appa- 

 rente doit varier périodiquement. 11 est impossible 

 pour le moment de se prononcer sur la valeur de 

 celte explication. 



On a fait une autre hypothèse qui se trouve 

 reproduite dans quelques ouvrages, bien qu'elle 

 ne soutienne pas un instant d'examen. A une 

 certaine époque , les géodésiens avaient cru 

 observer que l'aplatissement du globe n'est pas le 

 même pour les différents méridiens et que la Terre 

 affecte la forme d'un ellipsoïde à trois axes iné- 

 gaux. On a dit que cette figure devait être un ellip- 

 soïde de Jacobi. C'était oublier que les ellipsoïdes 

 de Jacobi diffèrent tous beaucoup de la sphère et 

 que le seul qui soit compatible avec la vitesse de 

 rotation de la Terre est une sorte d'aiguille très 

 allongée. 



Après la découverte de Jacobi, on a été naturel- 

 lement conduit à se demander s'il n'existait pas 

 d'autres formes d'équilibre non ellipsoïdales. 



Le problème a été nettement posé dans l'admi- 

 rable traité de philosophie naturelle de Thomson 

 et Tait où se trouvent quelques pages éminemment 

 suggestives. Ce sont ces pages qui ont inspiré les 

 recherches ultérieures, parmi lesquelles les plus 

 importantes sont, sans contredit, celles de M. Lia- 

 pounoff. Les travaux de ce savant russe, ceux de 

 M. Mathiessen, de Mme Kowalevski et les miens 

 ont mis en évidence l'existence de nombreuses 

 formes d'équilibre sur lesquelles je voudrais donner 

 quelques détails. 



I. — Formes nouvelles d'équilibre 



Équilibre. — Si l'on fait varier d'une manière 

 continue le moment de rotation (c'est-à-dire le 

 produit du moment d'inertie par la vitesse de rota- 

 tion), les ellipsoïdes de Mac-Lorin, comme ceux de 

 Jacobi se déforment d'une manière continue. 



Considérons d'abord les ellipsoïdes de révolu- 

 tion de Mac-Lorin. Quand le moment de rotation 

 croîtra, l'aplatissement, d'abord très faible, croîtra 

 constamment et finira par devenir très considéra- 

 ble ; la vitesse de rotation croîtra jusqu'à un cer- 

 tain maximum, pour décroître ensuite jusqu'à 

 s'annuler. 



Elle peut en effet décroître, bien que le moment 

 de rotation croisse, parce que l'autre facteur, qui 

 est, le moment d'inertie, croit très rapidement. 



On arrive à des résultats analogues, ainsi que 

 l'a montré Liouville, en ce qui concerne les ellip- 

 soïdes de Jacobi. Ces ellipsoïdes n'existent que si 

 le moment de rotation est supérieur à une cer- 

 taine valeur. Quand ce moment va en croissant à 

 partir de cette valeur, la vitesse de rotation décroît 

 et finit par s'annuler; le grand axe va en crois- 

 sant et le petit axe en décroissant sans cesse; l'axe 

 moyeu décroît plus rapidement encore. D'abord 

 il est égal au grand axe, de telle façon que l'ellip- 

 soïde est de révolution autour du petit axe, c'est- 

 à-dire de l'axe de rotation ; au contraire quand 

 le moment de rotation est très grand et la vitesse 

 de rotation très petite, l'axe moyen est presque 

 égal au petit axe, de telle sorte que la figure 

 ressemble à un ellipsoïde de révolution très 

 allongé. 



On voit que les deux catégories d'ellipsoïdes 

 forment deux séries continues de figures d'équi- 

 libre. Mais il y a une figure qui est commune aux 

 deux séries et qui est, si l'on veut me permettre 

 cette comparaison, un point de bifurcafion. Je 

 veux parler de l'ellipsoïde de Jacobi qui cor- 

 respond à la valeur minimum du moment de 

 rotation; il est en effet en même temps, ainsi que 

 je viens de le dire, un ellipsoïde de révolution 

 aplati. 



Je l'appellerai l'ellipsoïde E,. 



Les figures nouvelles d'équilibre dont il me 

 reste à parler forment de même des séries conti- 

 nues; et quelques-unes d'entre elles, qui appar- 

 tiennent en même temps à la série des ellipsoïdes 

 de Mac-Lorin ou à celle des ellipsoïdes de Jacobi, 

 sont de véritables figures de bifurcation analogues 

 à E,. 



Je vais chercher à faire comprendre la forme de 

 ces figures nouvelles. Prenons d'abord pour point 

 de départ un ellipsoïde de révolution. Partageons- 

 en la surface enn -{- i zones, en y traçant n paral- 

 lèles. Partageons-la de même en 2p fuseaux égaux 

 par j) méridiens équidislants. 



Ces parallèles et ces méridiens, se coupant à 

 angle droit, déterminent une sorte de damier; ima- 

 ginons maintenant que la surface de l'ellipsoïde 

 se creuse ou se soulève, de telle façon que les cases 

 noires de notre damier soient remplacées par des 

 montagnes très peu élevées et les cases blanches 

 par des vallées très peu profondes; nous obtien- 

 drons ainsi une figure d'équilibre très peu diffé- 

 rente de l'ellipsoïde. 



Pour nous rendre compte de la forme des autres 

 solides d'équilibre de la même série, nous n'avons 

 qu'à supposer que ces relifs vont en s'accentuant 



