814 H. POINCAEÉ. — LES FORMES D'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION 



Il est clair que ce mouvement peut se continuer 

 indéfiniment si aucune cause extérieure ne vient 

 le troubler. Mais, si une semblable cause vient y 

 apporter une perturbation très petite, la couronne 

 va-t-elle finir par se disloquer, ou bien sa défor- 

 mation restera-t-elle très petite? En d'autres ter- 

 mes, l'équilibre de notre couronne sera-t-il stable? 

 Je ne puis, bien entendu, reproduire ici l'analyse 

 du savant anglais, et je dois me contenter d'un 

 aperçu grossier. On peut voir d'abord que, si l'astre 

 central n'existait pas, l'équibre serait instable. Si, 

 en efTet, l'un des satellites prend l'avance pourime 

 cause quelconque, il se rapproche du satellite qui 

 est devant lui et s'éloigne de celui qui est derrière. 

 Il est plus attiré par le premier et moins par le 

 second : sa marche est encore accélérée ; son 

 avance tend à s'accroître et la couronne à se dis- 

 loquer. 



Si nous supposons au contraire que les masses 

 des satellites soient infiniment petites par rapport 

 à celle de Saturne, chaque satellite se comportera 

 comme s'il était seul: or, nous savons que le mou- 

 vement d'un satellite isolé est stable. 



On peut donc prévoir, sans qu'il soit nécessaire 

 d'avoir recours à un calcul complet, que la condi- 

 tion de la stabilité de notre couronne sera que sa 

 masse soit suffisamment petite par rapport à celle 

 de l'astre central. 



Le même résultat subsiste pour un système plus 

 compliqué de satellites; c'est encore le même 

 qu'obtient Maxwell dans la troisième hypothèse, 

 c'est-à-dire en supposant la masse fluide. Par un 

 calcul qui n'est peut être pas parfaitement rigou- 

 reux, il démontre qu'un anneau fluide ne peut être 

 stable que si sa densité moyenne est au plus égale 

 à la 300' partie de celle de la planète. 



Mais, on peut compléter le résultat de Maxwell 

 par un raisonnement qui est assez court pour être 

 reproduit ici. On sait que les électriciens se repré- 

 sentent un champ électrostatique comme sillonné 

 par un très grand nombre de lignes de force. Ce 

 qui définit une de ces lignes, c'est qu'en chacun 

 de ses points la tangente est la direction de la force 

 électrique. 



Cette image leur est très précieuse, car elle peut 

 remplacer dans la pratique une foule de formules 

 mathématiques qui sont abstraites et compliquées. 

 Mais ils usent aussi d'une autre image ; ils suppo- 

 sent chacune de ces lignes de force remplacée par 

 un petit canal qui est parcouru par un liquide 

 fictif avec un débit constant el dans le sens de la 

 force électrique. La quantité de ce liquide imagi- 

 naire qui passe à travers une surface quelconque, 

 s'appelle le flux de force qui traverse cette surface. 

 Tout se passe alors comme si chaque molécule 

 d'électricité positive émettait continuellement une 



quantité constante de ce liquide, et si chaque mo- 

 lécule d'électricité négative en absorbait au con- 

 traire continuellement une quantité constante. On 

 peut, en d'autres termes, résumer toutes les lois 

 de l'électrostatique, en disant que le flux de force 

 qui traverse une surface fermée est proportionnel 

 à la somme algébrique des masses électriques 

 contenues à l'intérieur de cette surface. 



La même règle peut s'appliquer à l'attraction 

 nevvtonienne: cette force suit, en efTet, la même loi 

 que l'attraction électrique, qui est la raison inverse 

 du carré des distances. Elle s'applique encore 

 quand, au lieu de considérer la gravitation seule, 

 on considère la résultante de la gravitation et de 

 la force centrifuge. 



Imaginons en effet une matière fictive dont l'ac- 

 tion sur les corps voisins soit conforme à la loi de 

 Newton, mais soit répulsive, au lieu d'être attrac- 

 tive. C'est ce que l'on peut exprimer, si l'on préfère, 

 en disant que la densité de cette matière est néga- 

 tive. 



Supposons que cette matière fictive affecte la 

 forme d'un cylindre de révolution indéfini, à l'in- 

 térieur duquel se trouvent tous les corps que l'on 

 veut envisager, et que sa densité soit proportion- 

 nelle au carré de la vitesse de rotation. La répul- 

 sion exercée par cette masse fictive aura même 

 grandeur el même direction que la force centrifuge. 

 Pour obtenir la résultante de la gravitation et de 

 la force centrifuge, il suffira donc de considérer à 

 la fois l'action de toutes ces masses, tant réelles 

 que fictives. 



Cela posé, considérons notre masse fluide en ro- 

 tation et une molécule superficielle faisant partie 

 de cette masse, et soumise par conséquent à la 

 gravitation et à la force centrifuge. La force totale, 

 qui agit sur cette molécule, doit, pour qu'il y ait 

 équilibre, être normale à la surface de la masse; 

 mais, pour que cet équilibre soit stable, il faut de 

 plus que cette force soit dirigée vers l'intérieur de 

 la masse fluide, sans quoi elle tendrait à en déta- 

 cher notre molécule. Toutes les lignes de force 

 coupent donc normalement la surface de la masse, 

 el le liquide imaginaire, qui est supposé les par- 

 l'ourir, et dont la vitesse a même direction que la 

 force totale, doit toujours traverser cette surface 

 en allant du dehors au dedans. Il en résulte que 

 le flux de force total qui traverse cette surface est 

 positif, el comme, d'après la règle énoncée plus 

 liant, il est proportionnel à la somme algébrique 

 de toutes les masses, tant réelles que fictives, si- 

 tuées à l'intérieur de cette surface, cette somme 

 algébrique doit aussi être positive. 



En d'autres termes, la densité moyenne du 

 fluide réel doit être supérieure en valeur absolue 

 à la densité de la matière fictive, laquelle, comme 



