870 



ACADÉMIES ET SOCIÉTÉS SAVANTES 



nous recevrons désormais, après chacune de ses séances 

 la copie textuelle des Mémoires accueillis par elle. Chacun 

 de ces Mémoires sera, sous la seule réserve de l'acquiesce- 

 ment de l'Auteur, traduit par un savant spécialiste et pu- 

 blie, autant que possible, in extenso dans nos colonnes 



Les communications suivantes ont été faites à la Société 

 depuis sa rentrée jusqu'à la date du 15 décembre. 



1° SCIENCES ^MATHÉMATIQUES. 



Major P.-A. Mac Aialion. F. R. S.— Mémoire sur 

 la théorie des compositions des nombres. — Dans 

 la théorie des partitions des nombres Tordre des par- 

 ties est indifférent. Les compositions sont simplement 

 des partitions où l'on tient compte de l'ordre des 

 parties. 



Outre les nombres ordinaires ou « unipartits « on 

 considère des nombres <. multipartils .., c'est-à-dire 

 des nombres complexes formés par l'ensemble de 

 ?i nombres unipartits. La première section traite des 

 compositions des nombres unipartits, sujet très 

 siniple, qui sert d'introduction à la théorie plus diffi- 

 cile des nombres multipartits. 



Dans la théorie des partitions, on rencontre certaines 

 partitions dérinies par cette propriété que cliacune 

 correspond à une partition de tout entier inférieur 

 L enumeration de ces partitions, dites « partitions par- 

 faites », se trouve être identique avec celle des compo- 

 sitions des nombres multipartits. 



La seconde section donne une théorie purement 

 analytique des nombres multipartits. Un nombre mul- 

 tipartit d'ordre n est désigné par une notation telle 

 que 



PlPi^-.- Pu 



Les parties dans lesquelles on les décompose sont 

 elles-memes_des nombres multipartits d'ordre n. Pour 

 le nombre 21 on a 



Partitions Compositions 



_(20 (il) 



(?^ "j) (2l Ôî), (Ol 2Ô) 



(if Ol) • _ (n 10), (il iT) 



(10' 01) (10^ 01), (lïï 01 ro), (01 ro-). 



La fonction génératrice pour les nombres de composi- 

 tions est 



/tl + /i. + /i3 -f . . . 

 1— Al — /(,. — /i3_ .. 



_ g| — a-, + «3 



1— 2(fli — «,, + «3 — 



Fig. 1. 



où h. a, représentent respectivement la somme des 

 produits homogènes d'ordres et la somme des produits 

 s as de n quantités «„ „„ ...«„; et le nombre des com- 

 positions du multipartit p, p, . . . p„ est le coefficient 



J Pi Pi Pn 



fbncti i"' " ■ "" '^'^"^ ^"^ développement de cette 



La section 3 s occupe de la représentation graphique 

 des nombres bipartits. On forme un réseau consisUint 

 en séries de points par lesquels passent des li«nes 

 dans deux directions définies, le contour général 

 étant uaj^arallelogramme. La figure 1 (AB) représente le 

 nombre B4 Une composition de ce nombre est définie 

 en li.xant des nœuds en certains points tels que nul 

 d entre eux n est à la fois au-dessus et à gauche d'au- 

 cun autre. Le parallélogramme qui a pour sommets 

 des nœuds voisins représente un certain nombre el en 

 passant en revue les nœuds de A à B, on peut îoriner 

 les diflerentes compositions. 



Les théorèmes obtenus par ces considérations sont 

 étendus dans la section 4 aux nombres tri et multi- 

 partits. Dans cette section, la plus importante du tra- 

 vail, on établit que 



i l 



2|1-*, l2ai-t-ao-f...-f-a„)lll-s,^2a,-4-2a.,. 

 I ■•■ li~s„{2ai+2tj:„ t- ...-t-2a„)f 



an ) 



est aussi une fonction génératrice pour les nombres de 

 compositions. La comparaison de cette fonction avec la 

 précédente fournit une identité féconde en résultats 

 parmi lesquels on peut remarquer le suivant relatif à 

 la tlieorie des permutations. 



Si l'on appelle contact majeur une inversion entre 

 et res consécutives, le nombre des permutations de 

 lettres dans le produit 



Pi Pi: 



Pn 



qui possèdent e.\actement s contacts majeurs est donné 



par le coefficient de X ai'^' af" ... a,/'" 

 duit. 



dans le pro- 



U, +X(,x,+ ... -)-„„ )]'''[„, + 0,,, -f X («3-1- ...-!-«„) 



[ai + a.. + ... 



,P« 



et de plus égal au nombre des permutations pour les- 

 quelles 



r, désignant le nombre de fois que la lettre a, se trouve 

 a l'une des p, + p,~\- ... -f-y/,_i premières places. 



La section 5 donne une généralisation de l'idée de 

 composition et des théorèmes précédents. 



2° SCIENCES PHYSIQUES. 



L,oril Kelvin. P. R. S. — Sur la vitesse du cou- 

 rant de cathode de Crookes. — A sa bril- 

 lante découverte du courant de cathode (cou- 

 rant partant de la cathode dans des vases de 

 verre où l'on a fait le vide et qui sont sou- 

 mis à la force électrique), Crookes a rattaché 

 le fait que, lorsque la totalilé du courant, ou 

 une part importante de ce courant total, est 

 dirigée de manière à tomber sur 2 ou 3 cen- 

 timètres carrés du vase contenant, cette partie 

 du verre s'échauffe rapidement d'un grand 

 nombre de degrés, quelquefois à plus de 200° 

 ou 300°, au-dessus de la température de la 

 partie du verre adjacente. 



Soit V la vitesse en centimètres par se- 

 conde, du courant de cathode et p la quantité 

 de matière de toutes les molécules contenues 

 dans 1 centimètre cube de ce courant. Ad- 

 mettons, _ et les expériences de Crookes 

 semblent prouver que ce n'est pas loin de la 

 vérité, — que leur choc contre le verre esl 

 pareil à celui des corps non élastiques, et qu'elles 

 abandonnent toute leur énergie de translation en 

 échauffant le verre. L'énergie ainsi abandonnée , 

 par centimètre carré de surface, est Ipys pour uik' 

 seconde de temps; l'équivalent en unités thermiques 

 gramme -degré centigrade - eau , est approximative- 

 ment : 



