BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



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BIBLIO&RÀPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques. 



eturm (D"' Rudolf), Profrsfeur à l'Uiiiveraité de Brc<:laii. 

 — DieGebilde ersten und zweiten Grades der Li- 

 niengeometrie in synthetischer Behandlung. 

 I Thcil : Der lincare Complex oder das Strahlengeu<i7ide 

 tind der tctraedrak Complex. Il Thcil : Die Strahlcwon- 

 (jnienzen erstev und zivciter Ordnunrj. (Traité synthé- 

 tique des figures du premier et du second degré dans la 

 géomt'trie linéaire. Première partie : Complexes linéaire 

 et tetraédral. Seconde partie : Congruences du premier et 

 du second ordre.) Deux volumes in-S" de x[v-386 p. et 

 xiv-36o p. [Prix de chaque volume, 15 fr.) Teubner, 

 éditeur, Leipzig, 1893-94. 



Jusque vers 1820, on s'est surtout occupé en Géométrie 

 des figures formées par des points en nombre fini ou 

 infini (polyèdres, surfaces, courbes, ttc). L'espace était 

 considéré comme le lieu des points, le point comme 

 l'élément générateur de l'espace. Un point est déterminé 

 par trois variables, ses coordonnées, dont chacune prend 

 un nombre infini ce Je valeurs. C'est ce qu'on exprime 

 en disant que l'espace contient «3 points. Ce fut la 

 géométrie ponctuelle. 



Ensuite, avec Poncelet, Mobius. Gergonne, Chasles, 

 Steiner,... se fonda la géoiwélrie planaire, où l'élément 

 générateur de l'espace fut le plan. Elle est identique au 

 fond avec la géométrie ponctuelle et voici pourquoi : il 

 y a aussi dans l'espace oo^ plans qu'on peut faire cor- 

 respondre aux ao'i points; chaque théorème « planaire » 

 correspond à un théorème « ponctuel » et vice versa. 

 C'est là le grand principe de dualité. Sur un plan la 

 dualité existe entre les points et les droites. 



Les choses changèrent quand, en 1869, dans son livre 

 sur la yeue Géométrie des Rawncs, Pliicker fonda la 

 géométrie linéaire, où la droite apparaît comme l'élé- 

 ment générateur de l'espace ; cette géométrie ne se ra- 

 mène pas aux précédentes, car il existe non plus co^, 

 mais bien oc* droites dans l'espace; elle est identique 

 avec la géométrie sur une surface du second degré dans 

 un espace à cinq dimensions, avec la géométrie ponc- 

 tuelle à quatre dimensions. On ne s'en est pas tenu aux 

 conceptions de Plùcker; on a une géométrie sphérique, 

 ciiculaire,. . . en considérant l'espace comme lieu de 

 sphères, de cercles... La chose capitale dans chacune 

 de ces géométries est le nombre de variables, ou coor- 

 données, dont dépend la figure prise pour élément gé- 

 nérateur de l'espace. Ne sont pas distinctes au fond, 

 grâce à une dualité généralisée, les géométries pour 

 lesquelles ce nombre est le même. 



Quoi qu'il ensuit, c'est dans la géométrie linéaire que 

 nous transporte M. Sturm. Il est un de ceux qui l'ont le 

 plus approfondie ; ce sont ses propres travaux qu'il 

 nous expose ainsi que les recherches des devanciers 

 et des contemporains. 



Dans l'espace ordinaire, ponctuel ou planaire, on 

 trouve, outre le polyèdre constitué par un nombre fini 

 d'éléments, encore la « surface »< et la « courbe », 

 figures constituées par oc- (points de la surface, plans 

 tangents de la même) et » éléments respectivement, 

 lieux desélémenls assujettis à une ou deux conditions. 

 Dans l'espace « réglé » ou engendré par la droite, la 

 variété des formations est plus grande. Outre la 

 figure formée par un nombre fini de droites, on trouve 

 successivement le « complexe », la « coiigruence », la 

 « surface réglée », figures à œ^, œ^ gt ^^ éléments res- 

 pectivement, lieux des droites assuietties à une, deux, 

 trois conditions. Quatre conditions fournissent un 

 nombre fini de droites. 



L'ouvrage dont nous rendons compte est un très 



vaste et très complet traité des propriétés afférentes 

 aux complexes et aux congruences. Pour justifier son 

 titre « in synthetischer Behandlung », l'auteur reste sur 

 le terrain strictement géométrique. Il s'interdit tout 

 développement relatif aux applications des complexes 

 et des congruences faites par différents algébristes 

 (MM. Lie, Darboux, Picard, Appell, moi et d'autres) 

 aux équations, aux dérivées partielles, à l'équation diffé- 

 rentielle du premier ordre, etc. 



Les droites d'un complexe issues d'un point engen- 

 drent un cône, ayant ce point pour sommet. Le « de- 

 gré » du complexe est celui du cône, c'est-à-dire le 

 nombre de points où ce cône est percé par une droite. 

 Dans une congruence (m, n), on distingue le nombre ni 

 de droites issues d'un point et le nombre n de droites 

 situées dans un plan; m est 1' « ordre », " la « classe » 

 de la congruence : m et n se correspondent par dualité. 



Le premier volume traite du complexe linéaire (pre- 

 mier degré) où le cône ci-dessus indiqué est un plan. 

 Ce complexe est envisagé successivement comme isolé 

 dans l'espace ou comme se coupant avec d'autres li- 

 néaires. Les propriétés en sont fort nombreuses, mais 

 la complication devient extraordinaire lorsque l'on 

 aborde le second degré, les complexes quadratiques. 

 Aussi se borne-t-on pour ces derniers au complexe te- 

 traédral ou de Ueye : c'est le lieu des droites coupées 

 par les quatre faces d'un tétraèdre dans un rapport 

 anharmonique constant. 



Le second volume est consacré aux congruences des 

 deux premiers ordres et des sept premières classes, ou, 

 ce qui revient au même, à cause de la dualité, des deux 

 premières classes et des sept premiers ordres. Signa- 

 lons les relations entre la congruence (2, 2) et la sur- 

 face du quatrième degré dite de Kummer. 



Grâce à une impression serrée et à un style concis, 

 le nombre des faits condensés dans cette monographie 

 de 730 pages est énorme; on assiste à un véritable ruis- 

 sellement de théorèmes. Toutes les richesses de la langue 

 allemande sont mises à contribution pour établir une 

 nomenclature. Aussi le lecteur trouve très indispensa- 

 bles les dictionnaires qui terminent les deux volumes. 



Bref, dans cet imposant travail, les mathématiciens 

 trouveront un répertoire encyclopédique étendu de nos 

 connaissances en géométrie linéaire. Léon Auto.nne. 



<iitntei- (D'' H.), P' à l'Ecole cantonale d''Aarau, et Ru- 

 <1m» (W F.). P' an Polgtcchnikum de Zurich. — Die 

 Elemente der analytisehen Géométrie der Ebene. 

 — i" édition. 1 col. in-S" de 168;). arec oo f g. dans le 

 tc.rte. {Prix: 3 francs.) B. G. Teubner, Leipzig, 1S9j. 

 Dans plusieurs pays, notamment en Allemagne et en 

 Suisse, on voit, en général, les éléments de géométrie 

 analytique figurer aussi bien dans le programme de 

 l'enseignement secondaire classique que dans celui de 

 l'enseignement secondaire scientifique. C'est à ces éta- 

 blissements-là qu'est destiné l'ouvrage de MM. Ganter 

 et Rudio. Les auteurs ont fort bien compris le but d'un 

 pareil traité, en écartant, d'un premier enseignement, 

 la discussion de l'équation générale du second degré; 

 par contre, ils ont consacré plus de place à une étude 

 approfondie des propriétés des coniques. C'est en cela que 

 ce livre diffère des ouvrages analogues. Si les limites 

 ont été restreintes, l'exposé est cependant d'une grande 

 clartéet d'une rigueur scientifique absolue. 



La rapidité avec laquelle a été épuisée la première 

 édition de cet ouvrage est une preuve certaine de son 

 succès. La nouvelle édition a reçu de nombreuses amé- 

 liorations, tout particulièrement dans le choix des pro- 

 blèmes qui terminent chaque paragraphe H. Feiir. 



